湖南大学数学研究生好考吗10篇

湖南大学数学研究生好考吗10篇湖南大学数学研究生好考吗　湖南大学研究生课程考试命题专用纸考试科目：　工程数学　专业年级：2011级专业型硕士研究生考试形式：闭卷(可用计算器)　考试时间：　1下面是小编为大家整理的湖南大学数学研究生好考吗10篇,供大家参考。

篇一：湖南大学数学研究生好考吗

大学研究生 课程考试命题专用纸 考试科目：

　工程数学

　 专业年级：2011 级专业型硕士研究生 考试形式：闭卷(可用计算器)

　考试时间：

　120 分钟 ……………………………………………………………………………………………………………………… 注：答题（包括填空题、选择题）必须答在专用答卷纸上，否则无效。

　一． 填空题（每小题 5 分，共 30 分）

　1. 用355113作为圆周率 3.14159265 π =  的近似值时，有

　位有效数字。

　2. 2( ) ( 5), x x x ϕ α = + −

　要使迭代法1( )k kx x ϕ+= 局部收敛到*5, x =

　则 α 的取值范围是

　.

　3. 若1 2,2 1A =   则谱条件数1222( ) Cond A A A − = ⋅ =

　 .

　4. 设0 1, , ,nx x x  为 1 n + 个互异的插值节点，( )( ) ( 0,1, , )( )jij ii jx xl x i nx x≠−= =−∏ 为拉格朗日插值基函数，则为拉格朗日插值基函数，则

　10(0)nni iil x+==

　.

　5. 已知实验数据

　ix

　0 1 2 3 iy

　1 2 4 5

　 则拟合这组数据的直线为 y =

　.

　6. 要使求积公式11 101( ) (0) ( )4f x dx f A f x ≈ +具有 2 次代数精度，则

　 1x =

　 ， 1A =

　二． ( 11 分) 给定方程3 2( ) 3 6 0. f x x x = + − =

　(1) 证明该方程在区间 (1, 2) 内存在唯一实根* ;x

　(2) 用牛顿迭代法求出*x 的近似值，取初值01.5, x =

　要求5110 .k kx x−+− <

　三．( 10 分) 用高斯列主元素消去法解线性方程组

　 1231 2 3 201 1 2 8 .2 4 1 9xxx− −           − = −               

　 四． (10 分) 给定线性方程组

　1232 1 1 11 1 1 1 ,1 1 2 1xxx−           =               

　写出求解该方程组的雅可比迭代格式，并分析雅可比迭代法的收敛性。

　五． (13 分) 试根据数表

　ix

　1 −

　0 2 iy

　10 14 16 iy ′

　1

　－1

　构造 Hermite (埃尔米特)插值多项式 ( ). H x

　六． (10 分) 求常数 , α β 使积分 ( )1 220xe x x dx α β − − 取最小值。

　七． (16 分) 用龙贝格方法求积分 311I dxx=

　的近似值，要求误差不超过310 .−

　 工程数学试题参考答案

　一． (1)

　7 ;

　 (2)  −0 ,51 ;

　 (3)

　3 ;

　 (4)

　nnx x x 1 0) 1 (−

　;

　(5) x 4 . 1 9 . 0 +

　;

　(6) .43,3211= = A x

　 二． 解.

　(1) 因为

　, ) ]) 2 , 1 [ ( 0 6 3 ) ( , 0 14 ) 2 ( , 0 2 ) 1 ( , ] 2 , 1 [ ) (2∈ ∀ > + = ′ > = < − = ∈ x x x x f f f C x f

　所以由零点定理和单调性知原方程在 ) 2 , 1 ( 内存在唯一实根 .*x

　 (4 分)

　 (2) 牛顿迭代格式为

　. , 2 , 1 , 0 ,6 36 3 26 36 322 322 31 =++ +=+− +− =+kx xx xx xx xx xk kk kkk kkk k (7 分)

　 取初值 , 5 . 10 =x

　计算结果如下：

　k

　0 1 2 3 4 kx

　1.5 1.238095 1.196815 1.195824 1.195823

　 5 *4 3 410 , 1.195823. x x x x−− < ≈ =

　 (11 分)

　三．解.

　1 2 3 20 2 4 1 91 1 2 8 1 1 2 82 4 1 9 1 2 3 20− −       − − → − −       − −   

　(2 分)

　 2 4 1 95 70 32 25 490 42 2    → −    − − (4 分)

　2 4 1 95 490 42 25 70 32 2    → − −    −  (5 分)

　 2 4 1 95 490 42 235 1750 08 8    → − −    − 

　(7 分)

　等价的上三角形方程组为

　 1 2 32 332 4 9 ,5 494 ,2 235 175.8 8x x xx xx + + =− + = −= − 回代得 3 2 15, 3, 1. x x x = − = = (10 分)

　四. 解. 雅可比迭代格式为

　 ( )( )( 1) ( ) ( )1 2 3( 1) ( ) ( )2 1 3( 1) ( ) ( )3 1 21121 (3 )112k k kk k kk k kx x xx x xx x x+++= + −= − − = − −分

　雅可比迭代矩阵

　1 102 21 0 1 ,1 102 2JB −  = − −  − −   

　(5 分)

　其特征方程 1 1| | 0 ,2 2JE B λ λ λ λ  − = − + =     JB 的特征值

　 1 2,310, .2λ λ = = ±

　(8 分) 因为谱半径 ( )11,2JB ρ = <

　所以雅可比迭代法收敛。

　(10 分) 五．列表计算差商

　ix

　( )if x

　一阶差商 二阶差商

　三阶差商

　四阶差商

　－1 10

　 －1 10 1

　0 14 4 3

　 2 16 1 －1 43−

　 2 16 －1 －1 0 49 (10 分)

　2 2 24 4( ) 10 ( 1) 3( 1) ( 1) ( 1) ( 2).3 9H x x x x x x x x = + + + + − + + + −

　(13 分)

　 六．解. 取20 1( ) , ( ) , ( ) ;xx x x x f x e ϕ ϕ = = =

　定义内积

　( )10, ( ) ( ) , ( ), ( ) [0,1], f g f x g x dx f x g x C = ∀ ∈

　则

　( )120 001, ,3x dx ϕ ϕ = =( )130 101, ,4x dx ϕ ϕ = =( )100, 1,xf xe dx ϕ = =

　( )141 101, ,5x dx ϕ ϕ = =( )1210, 2.xf x e dx e ϕ = = −

　(5 分)

　 正规方程组为

　1 113 41 124 5eαβ        =          −     

　 (8 分)

　 解得

　. 537454 . 2 220 80 , 903090 . 4 168 60 − ≈ − = ≈ + − = e e β β α α

　 (10 分)

　七.

　解.

　计算结果见下表

　 k

　0 ( )T k

　1 (1) T k −

　2 (2) T k −

　3 (3) T k −

　0 1.3333333

　1 1.1666667 1.1111112

　 2 1.1166667 1.1000000 1.0992593

　3 1.1032107 1.0987254 1.0986404 1.0986306

　(14 分)

　因为3 33 2(0) (0) 0.6287 10 10 , T T− −− = × <

　所以 1.0986306. I ≈

　(16 分)

　 湖南大学研究生 课程考试命题专用纸 考试科目：

　工程数学(A 卷)

　专业年级：2014 级专业型硕士研究生 考试形式：闭卷(可用计算器)

　考试时间：

　120 分钟 ……………………………………………………………………………………………………………………… 注：答题（包括填空题、选择题）必须答在专用答卷纸上，否则无效。

　三． 填空题（每小题 4 分，共 20 分）

　 1. 设 , ) ( x x f =

　则导数值 353101 . 0 ) 2 ( ≈′ f有

　位有效数字。

　 2. 若 ,3 20 1,11−=−= A x

　则=1|| || Ax

　，条件数 ( ) Cond A∞=

　 .

　 3. 设 1 3 ) (2− = x x f ，则差商 = ] 2 , 1 [ f

　， [0,1,2,3] f =

　.

　 4. 拟合三点 ) 2 , 2 ( , ) 3 , 1 ( , ) 1 , 0 ( C B A 的直线是 = y

　.

　 5. 参数 = α

　 时，求积公式 )] ( ) 0 ( [ )] ( ) 0 ( [2) (20h f f h h f fhdx x fh′ − ′ + + ≈α 的代数精

　 度达到最高，此时代数精度为

　 .

　四． (12 分) 给定方程 . 2 x e x − =

　(3) 证明该方程在区间 ) 1 , 0 ( 内存在唯一实根* ;x

　(4) 写出牛顿迭代法求*x 的迭代格式； (5) 若取初值 , 10= x

　牛顿迭代法是否收敛？若收敛，指出收敛阶数。

　三．( 12 分) 用三角分解法解线性方程组 .3431 1 22 5 33 2 1321−=−−−xxx

　四．( 16 分) 分别给出用雅可比迭代法和高斯—赛德尔迭代法解线性方程组 =3213215 0100 10bbbxxxαβ βα

　时，对任意初始向量都收敛的充要条件.

　五．6 (16 分) ) 用插值法求一个二次多项式 ), (2x P

　使得曲线 ) (2x P y = 在 0 = x 处与曲线

　x y cos = 相切，在2π= x 处与 x y cos = 相交，并证明

　 .324| cos ) ( | max3220ππ≤ −≤ ≤x x Px

　六．2 (12 分 ) 求xxe x f = ) ( 在 ] 1 , 0 [ 上的一次最佳平方逼近多项式。

　 七．2 (12 分 ) 已知函数表

　 请分别用 8 = n 的复化梯形公式和 4 = n 的复化辛浦生公式计算积分 10) ( dx x f 的

　近似值.（取 7 位浮点数）

　工程数学试题(A 卷)参考答案

　一． (1)

　3 ;

　(2) 5 , 6 ;

　 (3) 0 , 9 ;

　 (4)

　2321+ x

　;

　(5)

　3 ,121 .

　二． 解.

　(1) 因为 2 ) ( − + = x e x fx在 ) 1 , 0 ( 上连续，并且

　 ( ) , ] 1 , 0 [ 0 1 ) ( , 0 1 ) 1 ( , 0 1 ) 0 ( ∈ ∀ > + = ′ > − = < − = x e x f e f fx

　所以由零点定理和单调性知原方程在 ) 1 , 0 ( 内存在唯一实根 .*x

　 (4 分)

　 (2) 牛顿迭代格式为

　 . , 2 , 1 , 0 ,121 =+− +− =+kex ex xkkxkxk k

　(8 分)

　⑶ 因为 , ]) 1 , 0 [ ( 0 ) ( ∈ ∀ > = ′ ′ x e x fx , 0 ) 1 ( ) 1 ( >′ ′ ff

　所以牛顿迭代法收敛，

　且收敛阶为 2.

　(12 分)

　 三.

　解. 用杜里特尔分解法求解。按紧凑格式计算得 x

　0 0.125 0.250 0.375 0.500 ) (x f

　1 0.9973978 0.9896158 0.9767267 0.9588510 x

　0.625 0.750 0.875 1 ) (x f

　0.9361556 0.9088516 0.8771925 0.8414709

　56 28 5 213 7 1 33 3 2 1− −−− −

　于是得

　.56133,28 0 07 1 03 2 1,1 5 20 1 30 0 1−−=−−−== y U L

　 ( 9 分)

　回代求解上三角形线性方程组 , Ux y =

　得原方程组的解为

　. 1 , 1 , 21 2 3= = = x x x

　 即

　 . ) 2 , 1 , 1 ( ) , , (3 2 1= x x x

　 ( 12 分)

　四．解. 雅可比迭代矩阵

　 ,050100100100) (1−− −−= + =−αβ βαU L D B J

　其特征方程为

　, 01003| |2= − = −αβλ λ λJB E

　( 4 分) JB 的谱半径,10| | 3) (αβρ =JB 所以 J 法收敛的充要条件是3100| | < αβ . (8 分)

　 赛德尔迭代矩阵

　,50 500010 100001000 0 00 00 05 00 100 0 10) (211−−−=−−= − =−−αβ β αβ αβαβααβ U L D B G

　其特征方程为

　 , 01003| |2= − = −αβλ λ λGB E

　 (12 分) GB 的谱半径 ,100| | 3) (αβρ =GB

　所以 G-S 法收敛的充要条件是3100| | < αβ .(16 分)

　五．解. 由条件得

　. 0 cos2, 0 ) cos ( ) 0 ( , 1 cos ) 0 (220202= = = ′ = ′ = == = =ππx x xx P x P x P

　 (3 分)

　 .2, 0 , 0 ] 0 , 0 [ ) 0 ( ) (22x f x f f x P+ + =π

　 ( 6 分)

　 作差商表

　kx

　) (kx f

　一阶差商 二阶差商 0 1

　 0 1 0

　2π 0 π2−

　24π−

　.41 ) (222x x Pπ− =

　( 9 分)

　 .2, 0 ,2 612 ! 3| sin || cos ) ( |2 22∈ − ≤ − = −π π π ξx x x x x x x P

　( 12 分)

　 记 ,2) (2− = x x x gπ 令 , 0 ) 3 ( ) ( = − = ′ x x x g π

　得 .3, 02 1π= = x x

　所以

　 ,54 3 2 3) ( max3220π π π ππ= − =≤ ≤x gx 故

　.324| cos ) ( | max3220ππ≤ −≤ ≤x x Px

　( 16 分) 六．解. (1) 取 , ) ( , 1 ) (1 0x x x = = ϕ ϕ

　并设一次最佳平方逼近多项式为 , bx a y + =

　则

　, 1 ) , ( ,21) , ( , 1 1 ) , (100101 0100 0= = = = = =  dx xe f xdx dxxϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

　, 2 ) , ( ,31) , ( ,21) , (10211021 1 0 1− = = = = = e dx e x f dx xxϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

　(6 分)

　 正规方程组为 −=213121211e ba ( 8 分)

　解得 − =+ − =. 30 12, 16 6e be a

　故所求的最佳平方逼近多项式为 . 6 16 ) 30 12 ( e x e y − + − =

　 ( 12 分)

　 七．解.

　9767267 . 0 9896158 . 0 9973978 . 0 ( 2 1 [161) (108+ + × + = ≈T dx x f

　] 8414709 . 0 ) 8771925 . 0 9088516 . 0 9361556 . 0 9588510 . 0 + + + + +

　. 9456908 . 0 = .

　 ( 6 分)

　) 8771925 . 0 9361556 . 0 9767267 . 0 9973978 . 0 ( 4 1 [241) (104+ + + × + = ≈S dx x f

　] 8414709 . 0 ) 9088516 . 0 9588510 . 0 9896158 . 0 ( 2 + + + × +

　= . 9460833 . 0

　( 12 分)

　 湖南大学研究生 课程考试命题专用纸 考试科目：

　数值分析 （A 卷）参考答案

　专业年级：

　11 级各专业 考试形式：

　闭

　卷（可用计算器）

　考试时间：120 分钟 ……………………………………………………………………………………………………………………… 注：答题（包括填空题、选择题）必须答在专用答卷纸上，否则无效。

　一、简答题(20 分) 1、避免误差危害的主要原则有哪些？ 答：（1）两个同号相近的数相减（或异号相近的数相减），会丧失有效数字，扩大相对误差，应该尽量避免。（2 分）

　（2）很小的数做分母（或乘法中的大因子）会严重扩大误差，应该尽量避免。（3 分）

　（3）几个数相加减时，为了减少误差，应该按照绝对值由大到小的顺序进行。（4 分）

　（4）采用稳定的算法。（5 分）

　2．求解线性方程组的高斯消元法为什么要选主元？哪些特殊的线性方程组不用...

篇二：湖南大学数学研究生好考吗

017 年湖南大学数学与计量经济学院 F0601 专业综合之概率论与数理统计考研复试核心题库�一� 说明�本资料为学员内部使用�整理汇编了 2017 考研复试重点题及历年复试常考题型。

　———————————————————————————————————————— 一、计算题

　1� 设总体 X 服从几何分布,即 其中 为该总体的样本.分别求 的概率分布. 【答案】容易看出

　所以

　同样可以得到

　此式对 k=l 也成立,因为 所以 的分布列为

　 可以验证上述分布列满足非负性和正则性两个基本要求.事实上,由于 所以从而 而其和

　 下面求 的分布列.由于

　所以

　类似有

　所以 的分布列为

　同样可以验证上述分布列满足非负性和正则性两个基本要求.这里非负性是显然的,而其和

　 2� 设随机变量 X 与 Y 相互独立,其联合分布列为 表

　 试求联合分布列中的 a,b,c. 【答案】先对联合分布列按行、按列求和,求出边际分布列如下: 表

　由 X 与 Y 的独立性,从上表的第 2 行、第 2 列知 6=�6+4/9��6+1/9�,从中解得 b=2/9,再从上表的第 2 行、第 1 列知 从中解得 a=1/18,最后由联合分布列的正则性知: 由此得 c=1/6.

　3� 设 10 件产品中有 4 件不合格品�从中任取两件�已知其中一件是不合格品�求另一件也是不合格品的概率. 【答案】记事件 为“第 i 次取出不合格品”�i=1�2�D 为“有一件是不合格品”�E 为“另一件也是不合格品”.因为 D 意味着�第一件是不合格品而第二件是合格品�或第一件是合格品而第二件 是 不 合 格 品 � 或 两 件 都 是 不 合 格 品 . 而 ED 意 味 着 � 两 件 都 是 不 合 格 品 . 即因为

　 所以根据题意得

　 4� 设二维随机变量 在边长为 2,中心为�0,0�的正方形区域内服从均匀分布,试求 【答案】记

　因为 服从 D 上的均匀分布,且 D 的面积 ,G 的面积 所以所求概率为

　 5� 设 是来自正态分布的样本. �1�在 已知时给出 的一个充分统计量� �2�在 已知时给出 的一个充分统计量. 【答案】�1�在 已知时,样本联合密度函数为

　 令 , 取 , 由 因 子 分 解 定理,为 的充分统计量. �2�在 已知时,样本联合密度函数为

　 令 ,取

　由因子分解定理, 为 的充分统计量.

　6� 某建筑工地每天发生事故数的现场记录如下� 表 1

　试在显著性水平 下检验这批数据是否服从泊松分布. 【答案】本题与上题完全类似�仍为检验总体是否服从泊松分布的分布拟合检验问题.由于有几类的观测个数偏少�为使用近似分布�需要把后面四类合并为一类.于是我们把总体分成 4 类�在原假设下�每类出现的概率为�

　未知参数 采用最大似然估计得�

　将 代入可以估计出诸 于是可计算出检验核计量 如下表� 表 2

　若 取 查 表 知 故 拒 绝 域 为 由 于故不拒绝原假设�在显著性水平为 0.05 下可以认为这批数据服从泊松分布.此处检验的 p 值为

　 7� [1]设总体 X 的密度函数为 �其中 为未知参数� 为抽自此总体的简单随机样本�求 的置信水平为 的置信区间. [2]设某电子产品的寿命服从指数分布�其密度函数为 �现从此批产品中抽取容量为9 的样本�测得寿命为�单位�kh�

　求平均寿命 的置信水平为 0.9 的置信区间和单侧置信上、下限. 【答案】由指数分布和伽玛分布的关系知 �根据伽玛分布的性质�

　从而.

　因此可得 的置信水平为 的置信区间为 . [2]这是题[1]的一个具体应用.计算得 查表可得�

　 根据上题结论可知�的置信水平为 0.9 的置信区间为[0.0088,0.0272],单侧置信上限为 0.0245,单侧置信下限为 0.0102.所以�平均寿命 1A 的置信水平为 0.9 的置信区间[36.76�113.64],单侧置信上限为 98.04�单侧置信下限为 40.82.

　8� 设曲线函数形式为 问能否找到一个变换将之化为一元线性回归的形式�若能�试给出�若不能�说明理由. 【答案】能.令 则变换后的函数形式为 v=a+bu.

　二、证明题

　9� 设由可建立一元线性回归方程� 是由回归方程得到的拟合值�证明�样本相关系数 r 满足如下关系

　上式也称为回归方程的决定系数. 【答案】因为 即 将之代入样本相关系数 r 的表达式中�即有

　证明完成.

　 10�设 是来自的样本�证明 没有无偏估计. 【答案】�反证法�假设 为 的无偏估计�则

　由上式可知�等式的左边关于 处处可导�而等式的右边在 =0 处不存在导数.因此�假不成立�即 没有无偏估计.

　11�设 X 为非负连续随机变量�证明�对

　【答案】设 X 的密度函数为 p�X��则有

　12�设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布�试证� 都服从区间�0�1�上的均匀分布. 【答案】因为 X 的密度函数为

　又因为 的可能取值范围是�0�1��且 是严格单调减函数�其反函数为 所以 的密度函数为

　即 又 由 知也服从区间�0�1�上的均匀分布.结论得证.

　 2017 年湖南大学数学与计量经济学院 F0601 专业综合之概率论与数理统计考研复试核心题库�二� 说明�本资料为学员内部使用�整理汇编了 2017 考研复试重点题及历年复试常考题型。

　———————————————————————————————————————— 一、计算题

　1� 某城市中共发行 3 种报纸 A�B�C�在这城市的居民中有 45%订阅 A 报、35%订阅 B 报、30%订阅 C 报�10%同时订阅 A 报 B 报、8%同时订阅 A 报 C 报、5%同时订阅 B 报 C 报、3%同时订阅 A�B�C 报�求以下事件的概率� �1�只订阅 A 报的� �2�只订阅一种报纸的� �3�至少订阅一种报纸的� �4�不订阅任何一种报纸的. 【答案】仍用 A�B�C 分别表示订阅 A�B�C 报�则有 P�A�=0.45�P�B�=0.35�P�C�=0.30�P�AB�=0.10�P�AC�=0.08�P�BC�=0.05�P�ABC�=0.03. �1�P�只订阅 A 报�=

　 �2�因为 P�只订阅一种报纸�=其中

　 所以 P�只订阅一种报纸�=0.30+0.23+0.20=0.73. �3�P�至少订阅一种报纸�

　 �4�P�不订阅任何一种报纸�=

　 2� 设回归模型为 现收集了 15 组数据�经计算有后经核对�发现有一组数据记录错误�正确数据为�1.2�32.6��记录为�1.5�32.3�. �1�求 修正后的 LSE; �2�对回归方程作显著性检验

　�3�若 给出对应响应变量的 0.95 预测区间. 【答案】�1�由于有一组数据记录错误�应将 作修正�修正后的量分别记为则

　根据修正后的数据可计算得到 的 LSE 为

　 �2�利用修正后的数据可计算三个平方和为

　因而检验统计量 若取显著性水平 查表知�1�13�=4.67�拒绝域为 由于检验统计量落入拒绝域�因此回归方程是显著的.此处�回归方程显著性检验的 P 值为

　这是一个非常小的概率�说明回归方程显著性很高. �3�对于 其对应相应变量的预测值为

　而 查表知

　 因此响应变量的 0.95 预测区间为

　 3� 设 A�B�C 为三事件�试表示下列事件� �1�A�B�C 都发生或都不发生� �2�A�B�C 中不多于一个发生� �3�A�B�C 中不多于两个发生� �4�A�B�C 中至少有两个发生. 【答案】⑴

　�2�

　�3�

　�4�

　 4� 设 是来自正态总体的样本, 是来自另一正态总饵的样本,这两个样本相互独立,试给出 的充分统计量. 【答案】样本石 的联合密度函数为

　 其中取

　 由因子分解定理,1 是的充分统计量.

　5� 设求 a 和 的 UMVUE. 【答案】

　的联合密度函数为�

　 设 是 0 的任一无偏估计�则

　即

　 将�*�式两端对 a 求导�并注意到有

　 这说明 即

　于是

　又 从而 是 a 的 UMVUE. 我们将�**�式的两端再对 a 求导�得

　由此可以得到 下一步�将�*�式两端对 求导�略去几个前面已经指出积分为 0 的项�有

　这表明

　记

　由此可得到 因而

　由于

　 所以�

　故 是 的 UMVUE.

　 6� 为估计某台光谱仪测量材料中金属含量的测量误差�特置备了 5 个金属试块�其成分、金属含量、均匀性都有差别�设每个试块的测量值都服从正态分布�现对每个试块重复测量 6 次�计算得其样本标准差分别为 试求 的 0.95 置信区间. 【答案】从题意可知�这里 可以看作来自正态总体 的容量为 n=6 的样本标准差�i=1,2,…,5�由此可知 即由于各试块的测量可认为相互独立的�故有

　从而

　即

　 故 的 置信区间为 现算出 对 �查表知 代入可算得 的 0.95 置信区间为

　 7� 求一回归直线 y=A+Bx�使所有样本点 到该直线的垂直距离平方和最小. 【答案】点 到直线 y=A+Bx 的垂直距离的平方为

　如今要求 A 与 B�使

　使用微分法�并命其导数为零�可得如下两个方程�

　 由�*�式可得 并将其代入�**�式�可得

　注意到恒等式

　可将上式化为

　使用相同的记号

　则上式可表示为

　整理后可得如下 的二次方程�

　由于判别式 故此二次方程有实根.

　这里 是斜率�根据散点图上的上升趋势或下降趋势选择备表达式中的士号.

　8� 为考察某种维尼纶纤维的耐水性能�安排了一组试验�测得其甲醇浓度 x 及相应的“缩醇化度”y数据如下� 表 1

　�1�作散点图� �2�求样本相关系数� �3�建立一元线性回归方程� �4�对建立的回归方程作显著性检验

　【答案】�1�散点图如图�y 有随着 x 增加而増加趋势.

　图 �2�由样本数据可以算得

　 因此样本相关系数

　�3�应用最小二乘估计公式�于是一元线性回归方程为

　�4�首先计算几个平方和

　将各平方和移入方差分析表�继续计算�可以得到 表 2

　若取 查表知 拒绝域为 现检验统计量值落入拒绝域�因此在显著性水平 0.01 下回归方程是显著的.此处�回归方程显著性检验的 p 值为�用Matlab 语句表示�

　 二、证明题

　9� 设正态总体的方差 为已知值�均值 只能取 或 两值之一� 为总体的容量 n 的样本均值.考虑如下柃验问题

　若 检 验 拒 绝 域 取 为 则 检 验 犯 第 二 类 错 误 的 概 率 为 �1�试验证� 从而在 给定时�有 �2�若 n 固定�当 减小时 怎样变化�当 减小时 怎样变化� �3�当 并且要求 时�样本容量 n 至少应为多少� 【答案】�1�由于 故检验犯第二类错误的概率为

　这给出 也即 从而在 给定时�有

　 �2�若 n 固定�当 减小时� 就变大�由 为常量可知就变小�从而导致 增大. 同理可知�当 减小时 增大. 这说明�在样本量给定时�犯二类错误的概率一个变小另一个就会变大�不可能找到一个使得犯两类错误的概率都变小的检验方案. �3�由 查表可得 于是

　将 代入�有

　即 n 至少应为 468.

　10�证明:若 则对 有

　并由此写出 与

　【 答 案 】

　由 t 变 量 的 结 构 知 ,t 变 量 可 表 示 为 其 中 且 u 与 v 独立,从而有由于

　 将两者代回可知,在 时,若 r 为奇数,则 若 r 为偶数,则

　证明完成.进一步,当 r=l 时, �此时要求 否则均值不存在�,当 r=2时,�此时要求 否则方差不存在�.

　11�在回归分析计算中�常对数据进行变换�

　其中 是适当选取的常数. �1�试建立由原始数据和变换后数据得到的最小二乘估计、总平方和、回归平方和以及残差

　 平方和之间的关系� �2�证明�由原始数据和变换后数据得到的 F 检验统计量的值保持不变. 【答案】�1�经变换后�各平方和的表达式如下�

　 所以由原始数据和变换后数据得到的最小二乘估计间的关系为

　在实际应用中�人们往往先由变换后的数据求出 然后再据此给出 它们的关系为

　 总平方和、回归平方和以及残差平方和分别为

　�2�由�1�的结果我们知道 即说明了由原始数据和变换后数据得到的 F 检验统计量的值保持不变.

　12�试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性:若随机变量 ,且X与Y独立,则

　【答案】因为

　所以由 X 与 Y 的独立性得

　这正是泊松分布 的特征函数,由唯一性定理知 .

　 2017 年湖南大学数学与计量经济学院 F0601 专业综合之概率论与数理统计考研复试核心题库�三� 说明�本资料为学员内部使用�整理汇编了 2017 考研复试重点题及历年复试常考题型。

　———————————————————————————————————————— 一、计算题

　1� 从数字 1�2�…�9 中可重复地任取 n 次�求 n 次所取数字的乘积能被 10 整除的概率. 【答案】记事件 A 为“至少取到一次 5”�事件 B 为“至少取到一次偶数”�则所求概率为 P �AB��因为

　所以

　下表对一些不同的 n�给出 P�AB�的值� 表

　从上表可以看出�P�AB�是随着 n 的増加而增加的�直至趋向于 1�这是符合人们直观感觉的.

　2� 甲、乙两个校对员彼此独立对同一本书的样稿进行校对�校完后�甲发现 a 个错字�乙发现b 个错字�其中共同发现的错字有 c 个�试用矩法给出如下两个未知参数的估计� �1�该书样稿的总错字个数� �2�未被发现的错字数. 【答案】�1�设该书样稿中总错字的个数为 甲校对员识别出错字的概率为 乙校对员识别出错字的概率为 由于甲、乙是彼此独立地进行校对�则同一错字能被甲、乙同时识别的概率为根据频率替换思想有

　由独立性可得矩法方程 解之得

　�2�未被发现的错字数的估计等于总错字数的估计减去甲、乙发现的错字数�即

　譬如�若设 a=120,b=124,c=80,则该书样稿中错字总数的矩法估计为 而未被发现的错字个数的矩法估计为 186-120-124+80=22 个.

　 3� 在一批灯泡中抽取 300 只作寿命试验�其结果如下� 表

　在显著性水平为 0.05 下能否认为灯泡寿命服从指数分布

　【答案】这是一个检验总体是否服从指数分布 的假设检验问题. 本题中总体分成 4 类�在原假设成立下�每类出现的概率 及 分别为

　 因而�检验的统计量为

　这里 k=4�检验拒绝域为 若取 则 由于 未落入拒绝域�故不拒绝原假设�在显著性水平为 0.05 下可以认为灯泡寿命服从指数分布此处检验的 p 值为

　 4� 设曲线函数形式为 试给出一个变换将之化为一元线性回归的形式. 【答案】本题相对于前两题来说�变换形式稍显复杂�根据原函数形式�可考虑作如下变换�

　变换后的线性函数为 进一步�可将之规范化�令

　则最后的回归函数化为

　 5� 设随机变量 X 服从参数为μ=160 和 的正态分布�若要求 �允许最大为多少� 【答案】由题设条件 得 从而查表得或 这表明矿最大为 24.32.

　6� 在生产力提高的指数研究中已求得三个样本...

篇三：湖南大学数学研究生好考吗

97667992 15155415602 考研信息站=考研是什么考什么怎么考什么时候考分数要求多少怎么选择专业院校

　2010-12-12 21:55 | (分类:考研指导)

　人生有很多事情我们是不知道的 但最重要的是我们要知道下一步要做什么。

　关于考研你下定决心了吗做好准备迎接它的到来了吗愿意花上一年甚至更多的时间全心投入到这场艰苦的战役中了吗未来的路在你脚下要坚信自己认真的抉择永远是正确。希望我们的努力可以给已经下定决心考研的学子增添装备同时希望给还犹豫不决的学子一个方向性的引导。

　 考研常识篇

　本篇主要提供考研是什么考什么怎么考什么时候考分数要求多少怎么选择专业院校等相关信息。

　1、硕士研究生报考条件有哪些

　A.中华人民共和国公民。B.拥护中国共产党的领导愿为社会主义现代化建设服务品德良好遵纪守法。C.考生的学历必须符合下列条件之一

　1国家承认学历的应往届本科毕业生

　2具有国家承认的大学本科毕业学历的人员

　D.年龄一般不超过 40 周岁。

　E.身体健康状况符合国家和招生单位规定的体检要求。

　2、报考类别有那些种类

　目前国家研究生招生的报考类别有“非定向、定向、自筹经费和委托培养”四种类别。

　非定向指在录取时不确定未来的工作单位 在校期间享受国家规定的奖学金和其他生活待遇。毕业时应服从国家就业指导在国家规定的服务范围内进行安排或实行双向选择。

　定向培养研究生是指在招生时即通过合同形式明确其毕业后工作单位的研究生其学习期间的培养

　费用按规定标准由国家向培养单位提供。

　自筹经费即指自费生除个人缴纳培养费外其他待遇与公费生一样。

　3、全国硕士研究生入学统一考试报名流程

　研究生招生考试网上报名一般每年的 9 月下旬开始 如 2011 年考研从 2010 年 9 月 25 日正式开始 。

　 第一阶段9 月 25 日-29 日应届本科毕业生网上预报名。具体安排为9 月 25 日-29 日每天 9:00-22:00有关高校组织应届本科毕业生登录研招网填写报名信息。

　第二阶段10 月 10 日-31 日每天 9:00-22:00 考生登录研招网按网站的提示和要求如实填写本人报名信息。

　现场确认 11 月 10 日-14 日 考生携带有效身份证件到省级教育招生考试管理机构指定的报考点确认报名信息。

　4、全国硕士研究生入学考试时间

　考试时间一般安排在报名后每年的1月中旬 如2011年考试时间为2011年1月15日-17日  。考试时间为两天每天考两科每科考试时间为三个小时。

　第一天上午 8301130 政治(满分为 100 分 第一天下午 14001700 英语(一)、英语(二)、日语、俄语(满分为 100 分)

　第二天上午 8301130 专业课一工科一般为数学一、数学二(满分为 150 分)

　第二天下午 14001700 专业课二根据报考学校确定(满分为 150 分)

　5、考研照顾专业都包括哪些

　照顾专业一般都是工作条件艰苦基础学科之类的专业考研复试线会比国家线低。总分一般低 10 分 单科线政治英语低 6-8 分左右数学和专业课低 10 分左右。

　照顾专业(一级学科):力学[0801]、冶金工程[0806]、动力工程及工程热物理[0807]、水利工程[0815]、地质资源与地质工程[0818]、矿业工程[0819]、船舶与海洋工程[0824]、航空宇航科学与技术[0825]、兵器科学与技术[0826]、核科学与技术[0827]、农业工程[0828]。

　报考照顾专业的研究生只要达到制定的 照顾专业 的国家线就可以了。但是这是该专业全国最低要求的分数线并不意味着你到了该分数线就可以被录取。如果是自主划线的 34所也有一个照顾专业的线达到这个线就可以了。

　6、考研复试资格分数线

　国家线教育部依据硕士生培养目标结合年度招生计划、生源情况及总体初试成绩情况

　确定报考统考、MBA 及法律硕士专业学位考生进入复试的基本要求标准其中包括应试科目总分要求和单科分数要求对应届本科毕业生和非应届毕业生实行统一的进入复试基本分数要求。分为专业课、公共课两种依据不同地区分数线标准有所差异是考研调剂的最重要依据。

　比如照 08 年的国家线工科 A 类地区总分要达到 300单科满分=100 分的要达到 44单科满分>100 分要达到 66即英语和政治都要 44 以上数学和专业要过 66总分过300只有这样才有机会进入面试。不同的地区分数线有点区别这要根据所报的学校的所在地。

　备注A 类考生报考地处一区招生单位的考生。

　B 类考生报考地处二区招生单位的考生。

　C 类考生①报考地处三区招生单位的考生或者②目前在三区就业且定向或委托培养回原单位的考生。

　考研地区总体分为三大类国家按照一类、二类、三类确定考生参加复试基本分数要求。

　一区系北京、 天津、上海、江苏、浙江、 福建、山东、 河南、湖北、 湖南、广东等 11 省市 

　二区系河北、山西、辽宁、吉林、黑龙江、安徽、江西、重庆、四川、陕西等 10 省市 

　三区系内蒙古、广西、海南、贵州、云南、西藏、甘肃、青海、宁夏、新疆等 10 省区 。

　2010 年全国硕士研究生统一入学考试考生进入复试的初试成绩基本要求(学术型)

　 A 类考生

　B 类考生

　C 类考生

　总分

　 100 分

　单科

　150 分

　总分

　单科

　100 分

　单科

　 150 分

　总分

　单科

　100 分

　单科

　150 分

　 理学[07]

　280

　37

　56

　270

　34

　51

　260

　31

　47

　 工学[08](不含照顾专业)

　275

　36

　54

　265

　33

　50

　255

　30

　45

　 工学照顾专业一级学科

　260

　36

　54

　250

　33

　50

　240

　30

　45

　 享受少数民族政策的考生

　 240

　30

　45

　240

　30

　45

　240

　30

　45

　 09 年全国硕士研究生统一入学考试考生进入复试的初试成绩基本要求

　 A 类考生

　B 类考生

　C 类考生

　总分

　单科

　100 分

　单科

　150 分

　总分

　单科

　100 分

　单科

　150 分

　总分

　单科

　100 分

　单科

　150 分

　 理学[07]

　280

　 38

　57

　270

　35

　53

　260

　32

　48

　 工学[08]不含照顾专业

　275

　37

　56

　265

　34

　51

　255

　31

　47

　 照顾专业一级学科

　260

　37

　56

　250

　34

　51

　240

　31

　47

　 享受少数民族政策的考生

　240

　31

　47

　240

　31

　47

　240

　31

　47

　08 年全国硕士研究生统一入学考试考生进入复试的初试成绩基本要求

　 A 类考生

　B 类考生

　C 类考生

　总分

　单科

　100 分

　单科

　150 分

　总分

　单科

　100 分

　单科

　150 分

　总分

　单科

　100 分

　单科

　150 分

　 理学[07]

　300

　47

　71

　290

　43

　65

　285

　41

　62

　 工学[08]不含照顾专业

　300

　44

　 66

　290

　40

　60

　285

　38

　57

　 照顾专业一级学科

　285

　39

　59

　275

　35

　53

　270

　33

　50

　 享受少数民族政策的考生

　260

　33

　50

　260

　33

　50

　260

　33

　50

　 07 年全国硕士研究生统一入学考试考生进入复试的初试成绩基本要求

　 A 类考生

　B 类考生

　C 类考生

　总分

　单科

　100 分

　 单科

　150 分

　总分

　单科

　100 分

　单科

　150 分

　总分

　单科

　100 分

　单科

　150 分

　 理学[07]

　305

　49

　74

　300

　47

　71

　295

　44

　66

　 工学[08]不含照顾专业

　290

　41

　62

　285

　39

　59

　280

　36

　54

　 照顾专业一级学科

　280

　38

　57

　 275

　36

　54

　270

　33

　50

　 享受少数民族政策的考生

　270

　33

　50

　270

　33

　50

　270

　33

　50

　 7、近 5 年考研报考人数与录取比例统计

　考硕年份

　报名人数

　万

　报考人数

　增长率

　录取人数

　万

　考录

　比例

　2005

　117.2

　24.0%

　32.494

　3.6:1

　 2006

　127.12

　8.4%

　40.28

　3.2:1

　 2007

　128.2

　0.8%

　36.4

　3.5:1

　 2008

　120

　—

　39

　3.0:1

　 2009

　124.6

　3.8%

　41.5

　3.0:1

　 2010

　140

　13%

　47.2

　2.9:1

　 考研院校专业选择篇

　 考研是千军万马过独木桥 那么选择切合实际的专业、 院校 无疑会给自己的考研增加胜算。以下将介绍一些院校、专业选择遵循的原则和要求。

　1、考研如何正确选择专业

　 建议在选择专业 第一个人兴趣及未来就业方向。兴趣是选择专业的首要因素。尽量选报自己喜欢的专业。如果不喜欢 即使考取了研究生 学习也很无味 毕业后从事这方面工作 也很难有所成就。

　第二自身实力是一个重要的参考指标。自身实力并非指本科阶段的学习成绩这里的实力是指由你的意志力、智力、复习时间等决定的你大概能达到的一个水平。

　如果自我感觉实力较弱那最好选报本专业可以节约更多时间复习公共课。

　如果感觉自己的基础很扎实而且很早就有换专业的打算和准备可以考虑换一个相对不错的专业。跨专业考研的同学应更早作准备以保证必要的学习时间。因为俗话说 “隔行如隔山” 。

　2、考研如何正确选择院校

　在研招单位里面大概分为几个档次

　第一类名校即国家教育部钦定的“2+7” 清华和北大复旦、南大、浙大、中科大、上交、西交和哈工大。

　第二类重点国家教育部指定的自主定线的 10 个科研院校 “9+1”  像北京的人大、北师大、北理工上海的同济、武汉的华科、武大成都的川大西安的西工大、西电福建的厦大等。

　第三类就是“211 工程”和教育部直属的一些高校。

　第四类具有研究生招生资格的二本院校和研究所。

　3、择校需要注意的几个方面

　质量高低。在该专业领域内的地位导师质量单位近年来学术成就等。

　名气大小。名气往往是质量的一个外在评价指标。有利于研究生开展研究也有利于就业。

　竞争态势。

　各招生单位由于质量高低、 地理远近的缘故 同一专业的报考人数可能相差很大竞争态势也就高低不同。结合自己的实力可以尽量避开竞争焦点提高自己的录取概率。

　最终报考目标的确定其实是专业选择和学校选择的综合。定院校和专业的顺序一般是先定专业后选学校。把大方向定好小方向就容易很多了。

　4、各院校学科专业设置概况

　一级学科是大类相当于专业。

　二级学科是下面细分的小类相当于方向一般是有水平的学校自己开设的。

　考研首先确定一级学科再选择具体的专业。

　相关工学一级学科

　0801 力学

　 0802 机械工程

　 0803 光学工程

　0804 仪器科学与技术

　 0805 材料科学与工程

　 0806 冶金工程

　0807 动力工程及工程热物理

　 0808 电气工程

　 0809 电子科学与技术

　0811 控制科学与工程

　 0810 信息与通信工程

　 0828 农业工程

　0822 轻工技术与工程

　 0823 交通运输工程

　 0824 船舶与海洋工程

　0825 航空宇航科学与技术

　 0826 兵器科学与技术

　 0812

　 0831 生物医学工程

　针对机械工程学科介绍具体专业招生院校在这里只给出综合实力强的院校具体可参见各种招生专业手册或各院校网站。

　(0802) 机械工程(共 30 个一级学科招生单位)

　(080200) 机械工程(共 4 个二级学科招生单位)

　{机械工程 9 强上海交通大学、西安交通大学、清华大学、浙江大学、哈尔滨工业大学、吉林大学、华中科技大学、西南交通大学、北京航空航天大学}

　(080201) 机械制造及其自动化(共 144 个二级学科招生单位)

　 {机械制造及其自动化 27 强西安交通大学、浙江大学、上海交通大学、清华大学、哈尔滨工业大学、大连理工大学、华中科技大学、天津大学、南京航空航天大学、西北工业大学、山东大学、吉林大学、华南理工大学、北京航空航天大学、重庆大学、江苏大学、东北大学、上海大学、燕山大学、同济大学、北京理工大学、华东理工大学、武汉理工大学、西南交通大学、合肥工业大学、广东工业大学、河北工业大学}

　(080202) 机械电子工程(共 153 个二级学科招生单位)

　{机械电子工程 27 强华中科技大学、上海交通大学、哈尔滨工业大学、浙江大学、北京航空航天大学、西安交通大学、清华大学、上海大学、北京理工大学、大连理工大学、燕山大学、东北大学、西北工业大学、天津大学、西安电子科技大学、南京航空航天大学、哈尔滨工程大学、重庆大学、吉林大学、同济大学、合肥工业大学、北京邮电大学、中南大学、武汉理工大学、北京工业大学、山东大学、东南大学}

　(080203) 机械设计及理论(共 191 个二级学科招生单位)

　{机械设计及理论 35 强上海交通大学、西安交通大学为、东北大学、哈尔滨工业大学、华中科技大学、燕山大学、清华大学、重庆大学、浙江大学、北京科技大学、中南大学、南京航空航天大学、华南理工大学、中国石油大学、西北工业大学、武汉理工大学、北京航空航天大学、西南交通大学、太原理工大学、四川大学、同济大学、山东大学、东南大学、天津大学、北京理工大学、中国矿业大学、河北工业大学、上海大学、北京交通大学、武汉科技大学、江苏大学、北京工业大学}

　(080204) 车辆工程(共 59 个二级学科招生单位)

　{车辆工程 27 强吉林大学、西南交通大学、北京理工大学、上海交通大学、清华大学、同济大学、湖...

篇四：湖南大学数学研究生好考吗

4学院名称（公章）：湖南大学2014年硕士生招生复试结果汇总表小计复试专业课专业综合面试105324105320358冒雯外国语言学及应用语言学是推免生105324105320365刘梦外国语言学及应用语言学是推免生105324105320367张紫烟外国语言学及应用语言学是推免生105324105420683欧阳乐贞 外国语言学及应用语言学是推免生105324100220710邓笔芸外国语言学及应用语言学是推免生105324430314551李宙外国语言学及应用语言学62440222292130是105324430714422陈哲外国语言学及应用语言学61340321084126是105324430314414杨桦外国语言学及应用语言学 605.75399206.882124.75是105324432514457廖季鸿外国语言学及应用语言学 605.25403202.381121.25是105324500114604李潇外国语言学及应用语言学59839820081119是105324430314419王诗剑外国语言学及应用语言学59540019579116是105324620614606肖璐外国语言学及应用语言学59438520989120是105324431514435颜迎外国语言学及应用语言学 591.25381210.389121.25是105324431814444章雅倩外国语言学及应用语言学 587.75376211.890121.75是105324430314420刘韵柳外国语言学及应用语言学587.7378209.784125.7是105324431214569徐皓琪外国语言学及应用语言学 586.75379207.882125.75是是否录取备注考试成绩复试成绩准考证号考生姓名录取专业总分初试总成绩学院研究生招生工作领导小组组长签名：学院复试监督小组组长签名：共9页，第1页制表人签名：

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　附件4学院名称（公章）：湖南大学2014年硕士生招生复试结果汇总表小计复试专业课专业综合面试是否录取备注考试成绩复试成绩准考证号考生姓名录取专业总分初试总成绩105324340114468陈军外国语言学及应用语言学586.5391195.585110.5是105324430914567张单外国语言学及应用语言学 586.25384202.388114.25是105324430314549晏星星外国语言学及应用语言学58539219383110是105324430314548凌倩外国语言学及应用语言学 583.75389194.872122.75是105324342414474汪邦铃外国语言学及应用语言学583.5392191.582109.5是105324431714555肖一东外国语言学及应用语言学 581.75388193.882111.75是105324431514552姚婷外国语言学及应用语言学 580.75378202.882120.75是105324371114478王晓敏外国语言学及应用语言学 580.75391189.883106.75是105324360914476钟丽萍外国语言学及应用语言学 579.75387192.886106.75是105324431514433张云外国语言学及应用语言学 579.75376203.887116.75是105324430914424朱钟枚外国语言学及应用语言学577.5391186.574112.5是105324410614485刘燕外国语言学及应用语言学57638818882106是105324430314413陈荣素外国语言学及应用语言学 575.25377198.383115.25是105324141214556周清清外国语言学及应用语言学 574.75387187.88998.75是105324430914566伍清外国语言学及应用语言学57338219191100是105324460414497饶晏梅外国语言学及应用语言学571.5380191.575.5116是学院研究生招生工作领导小组组长签名：学院复试监督小组组长签名：共9页，第2页制表人签名：

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　附件4学院名称（公章）：湖南大学2014年硕士生招生复试结果汇总表小计复试专业课专业综合面试是否录取备注考试成绩复试成绩准考证号考生姓名录取专业总分初试总成绩105324371414479刘肖肖外国语言学及应用语言学 571.25379192.384108.25是105324360114585贺毛外国语言学及应用语言学 570.75379191.883108.75是105324431714554宁娜外国语言学及应用语言学570.5387183.576107.5是105324432614576郭立蓓外国语言学及应用语言学568.5381187.586101.5是105324410614484暴冰外国语言学及应用语言学 565.75384181.880101.75是105324431014428章敏外国语言学及应用语言学 587.25390197.392105.25是骨干计划105324432714578魏梦平外国语言学及应用语言学 542.75354188.878110.75是骨干计划105324105320360常妙沁英语语言文学是推免生105324105320361邢聪聪英语语言文学是推免生105324105320366李准发英语语言文学是推免生105324105930844尹慧英语语言文学是推免生105324431714517佘靓英语语言文学641.33425216.389127.33是105324360114620李娜英语语言文学611.33399212.384128.33是105324432214521蒋玉霜英语语言文学607.33393214.387127.33是105324430314506李静英语语言文学603.67376227.794133.67是105324340514563李曼英语语言文学600.65387213.788125.65是学院研究生招生工作领导小组组长签名：学院复试监督小组组长签名：共9页，第3页制表人签名：

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　附件4学院名称（公章）：湖南大学2014年硕士生招生复试结果汇总表小计复试专业课专业综合面试是否录取备注考试成绩复试成绩准考证号考生姓名录取专业总分初试总成绩105324432714617宋升华英语语言文学595.33400195.386109.33是105324410514624刘淑佩英语语言文学591.33375216.392124.33是105324411314537何梦玲英语语言文学588.33384204.391113.33是105324430914608龙娟英语语言文学58537920682124是105324410114535宗亚丽英语语言文学58338320088112是105324431614609彭伊娜英语语言文学582.33387195.386109.33是105324510614628陈海艳英语语言文学57938219784113是105324370114533林雪英语语言文学567.67394173.78885.67是105324105320357张丽日语语言文学是推免生105324105320359林梦雅日语语言文学是推免生105324105320362何宇亭日语语言文学是推免生105324105320364马丽芳日语语言文学是推免生105324105320368张蓝日语语言文学是推免生105324100090716董希霖日语语言文学是推免生105324101260738邹慧日语语言文学是推免生105324107180932杨艺珂日语语言文学是推免生学院研究生招生工作领导小组组长签名：学院复试监督小组组长签名：共9页，第4页制表人签名：

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　附件4学院名称（公章）：湖南大学2014年硕士生招生复试结果汇总表小计复试专业课专业综合面试是否录取备注考试成绩复试成绩准考证号考生姓名录取专业总分初试总成绩105324107360957周希瑜日语语言文学是推免生105324430814650罗洁日语语言文学652.5429223.593130.5是105324431214654徐秀玲日语语言文学648.8424224.895129.8是105324410314687孙静日语语言文学646.3425221.395126.3是105324411614691张晓诺日语语言文学638.3425213.390123.3是105324372514686刘娇日语语言文学634.3422212.386126.3是105324430314632商芳清日语语言文学630.8416214.888126.8是105324412914694刘平存日语语言文学623.3413210.394116.3是105324612214698苏敏日语语言文学623.3408215.389126.3是105324430314634杨思静日语语言文学621.8403218.892126.8是105324430214646明春霞日语语言文学615.3396219.394125.3是105324430314638黎百慧日语语言文学613.5399214.593121.5是105324430814651胡梦雨日语语言文学610.3399211.386125.3是105324430314637何超斌日语语言文学60938622395128是105324340614677彭旭虹日语语言文学607.8394213.888125.8是105324430314641雷林依日语语言文学607.5402205.590115.5是学院研究生招生工作领导小组组长签名：学院复试监督小组组长签名：共9页，第5页制表人签名：

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　附件4学院名称（公章）：湖南大学2014年硕士生招生复试结果汇总表小计复试专业课专业综合面试是否录取备注考试成绩复试成绩准考证号考生姓名录取专业总分初试总成绩105324431514661王慧珍日语语言文学607.3386221.395126.3是105324430314642程薇日语语言文学605.5390215.592123.5是105324421414696李兴慧日语语言文学60538821793124是105324430314644廖振日语语言文学60239021286126是105324432114670彭颖秋日语语言文学534.8333201.887114.8是骨干计划专业学位专业学位105324105320356郑玲学科教学英语推免生105324430310555苏蹦蹦学科教学英语595.00402193.00 72.00 121.00是105324432710593蒋丹学科教学英语579.75408171.75 63.00 108.75是105324220710598周瑾学科教学英语575.00393182.00 69.00 113.00是105324431210568黄珂瑜学科教学英语561.25371190.25 77.00 113.25是105324430810564周晶学科教学英语554.00359195.00 83.00 112.00是105324430310557孟诗纯学科教学英语547.50367180.50 76.00 104.50是105324431510570杨爱玲学科教学英语540.00345195.00 84.00 111.00是105324431510573刘小娜学科教学英语536.00369167.00 65.00 102.00是105324431510575佘文飞学科教学英语534.25342192.25 73.00 119.25是105324431710577伍君学科教学英语527.25354173.25 61.00 112.25是105324430310558陈炜学科教学英语527.00326201.00 81.00 120.00是学院研究生招生工作领导小组组长签名：学院复试监督小组组长签名：共9页，第6页制表人签名：

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　附件4学院名称（公章）：湖南大学2014年硕士生招生复试结果汇总表小计复试专业课专业综合面试是否录取备注考试成绩复试成绩准考证号考生姓名录取专业总分初试总成绩105324431810579周京莹学科教学英语526.75353173.75 66.00 107.75是105324431710578黄剑涛学科教学英语514.50340174.50 62.00 112.50是105324105320369周思阳英语笔译是推免生105324105320371宋歌英语笔译是推免生105324105550671尹丽萍英语笔译是推免生105324105420686吴芬英语笔译英语笔译英语笔译英语笔译英语笔译英语笔译英语笔译英语笔译英语笔译英语笔译英语笔译英语笔译英语笔译英语笔译英语笔译英语笔译是推免生105324101400741105324104590812105324105890847105324106730916105324432014209105324430314106105324430314101105324432114218105324430314085105324500114381105324410514326105324530214386105324432614244105324430314077105324430314098庞红岩彭聪孙金凤刀莹何文华简昕颖扶子桢刘惠子蒋韧刘绿水刘洋张伶俐欧阳兴陈妍婷郑玉蓉是是是是是是是是是是是是是是是推免生推免生推免生推免生631.30624.00581.30580.30576.60570.00565.60565.30564.30561.60561.60419407380362387371373356360363363212.30 90.00 122.30217.00 92.00 125.00201.30 73.00 128.30218.30 92.00 126.30189.60 75.00 114.60199.00 80.00 119.00192.60 76.00 116.60209.30 91.00 118.30204.30 89.00 115.30198.60 88.00 110.60198.60 77.00 121.60学院研究生招生工作领导小组组长签名：学院复试监督小组组长签名：共9页，第7页制表人签名：

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　附件4学院名称（公章）：湖南大学2014年硕士生招生复试结果汇总表小计复试专业课专业综合面试是否录取备注考试成绩复试成绩准考证号考生姓名录取专业总分初试总成绩105324431514150105324430314086105324430214111105324610314389105324431714177105324432714257105324432114217105324421414352105324153114274105324421914357105324610314391周欣朱兰妮黄婷唐广英唐欣李群李翌诗肖芳陈静朱星星陈盼英语笔译英语笔译英语笔译英语笔译英语笔译英语笔译英语笔译英语笔译英语笔译英语笔译英语笔译559.60559.00548.00547.60546.30544.60542.60541.60539.30538.30536.60364357356366358355365356355355358195.60 79.00 116.60202.00 80.00 122.00192.00 77.00 115.00181.60 77.00 104.60188.30 70.00 118.30189.60 82.00 107.60177.60 76.00 101.60185.60 78.00 107.60184.30 79.00 105.30183.30 73.00 110.30178.60 71.00 107.60是是是是是是是是是是是105324410614330师超飞英语笔译536.00357179.00 73.00 106.00是105324322014290赵欣欣英语笔译535.30356179.30 77.00 102.30是105324231614284马兰星英语笔译531.30355176.30 63.00 113.30是105324421814355张瀚云英语笔译英语笔译英语笔译英语笔译英语笔译英语笔译英语口译英语口译519.00321198.00 89.00 109.00是骨干计划105324432214220105324432614243105324432614241105324430514115105324422514367105324105320370105324105380663梁爽储理圆向芳彭静张霁孙静王烨姝515.30505.30495.30489.60478.00347341318316329168.30 64.00 104.30164.30 62.00 102.30177.30 73.00 104.30173.60 70.00 103.60149.00 49.00 100.00是是是是是骨干计划骨干计划骨干计划骨干计划骨干计划推免生推免生学院研究生招生工作领导小组组长签名：学院复试监督小组组长签名：共9页，第8页制表人签名：

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　附件4学院名称（公章）：湖南大学2014年硕士生招生复试结果汇总表小计复试专业课专业综合面试是否录取备注考试成绩复试成绩准考证号考生姓名录取专业总分初试总成绩105324105420685105324121210842105324430314094105324430614121105324430314068105324120314260105324130314262105324530414387105324432714258105324430314066105324330214291105324432214221105324370914319105324432214226105324105320372105324105420684105324440914408杨元向...

篇五：湖南大学数学研究生好考吗

017 年湖南大学金融不统计学院 610 数学分析考研导师圈点必考题汇编�一� 说明�①本资料为 VIP 学员内部使用�整理汇编了历届导师圈点的重点试题及常考试题。

　—————————————————————————————————————————— 一、证明题

　1� 设函数列 在区间 I 上一致收敛�且对每个 n�都是 I 上的有界函数(丌要求一致有界).证明� 在 I 上必一致收敛. 【答案】

　 首先证明 f(x)�g(x)在 I 上有界. 存在正整数使得

　而 所以

　同理可证 g(x)在 I 上也有界.设

　其次证明 在 I 上一致有界.由 故存在正整数 当 时有

　因此 当 时有

　 令��则有

　最后证明 取正整数 N�使得当 n>N 时�有

　于是当 n>N 时�有

　 故 在 I 上一致收敛于 f(x)g(x).

　2� 设 在上连续幵且单调递减�证明�函数 在 单调递减. 【答案】对 F(x)求导�得

　由 f(x)在 上连续且单调递减�得 �所以 即函数上单调递减.

　 3� 证明�当 时有丌等式

　【答案】令 则 于是 因 在 上递减�且根据积分第二中值定理�存在 使得

　故

　 二、解答题

　4� 设 在上连续可导�且

　求证�

　【答案】设 满足

　显然 满足�2�式.于是

　 所以 即�1�式成立。

　5� 求曲线的全长. 【答案】将曲线改写成参数方程�并计算微弧�

　 因此

　 6� 设�其中 为可微函数�求

　【答案】

　)

　7� 若曲线以极坐标 表示�试给出计算的公式�幵用此公式计算下列曲线积分� (1) 其中 L 为曲线 的一段� (2) 其中 L 为对数螺线 在圆 内的部分. 【答案】因 L 的参数方程为

　且

　8� 根据图写出定义在 上的分段函数 和�的解析表示式.

　图 【答案】由直线的点斜式方程容易得到�

　 9� 计算其中 L 是椭圆 方向沿逆时针方向. 【答案】

　在仸何丌包含原点的区域内均有

　因此对仸何完全落在 L 内部且包含原点的封闭曲线 C�在 L 和 C所夹的区域内应用格林公式�有

　其中 表示在曲线 C上方向沿顸时针方向. 由此可得

　选取 适当小�使 完全落在 L 内�则有

　 2017 年湖南大学金融不统计学院 610 数学分析考研导师圈点必考题汇编�二� 说明�①本资料为 VIP 学员内部使用�整理汇编了历届导师圈点的重点试题及常考试题。

　—————————————————————————————————————————— 一、证明题

　1� 应用詹森丌等式证明� ⑴设有

　(2)设 有 其中

　【答案】(1)设 则 由 可知 为区间上严格凸函数.根据詹森丌等式有

　即

　因而 把这个丌等式中的 n个正数换成 则得到

　于是原丌等式得证。

　(2)设 由(1)知 为凸函数�令代入得

　于是令

　得

　丌等式两端同时乘以 再对 时的丌等式两端分别相加�得

　 2� 设函数 f 在区间 上满足利普希茨(Lipschitz)条件�即存在常数 使得对 上任意两点都有

　 证明:f 在 上一致连续. 【答案】对仸给的 取 则当 且 时�有

　故 f 在 I 上一致连续.

　3� 证明施瓦兹 丌等式�若 f 和 g 在上可积�则

　【答案】若 不 可积�则 都可积�且对仸何实数也可积�又故

　即

　由此推得关于 的二次三顷式的判别式非正�即

　故

　 二、解答题

　4� 设 V�t�是曲线 .在 上的弧段绕 x 轴旋转所得的体积�试求常数 c�使 【答案】由旋转体体积公式可得

　所以

　故 又因为 所以 C=l.

　5� 设函数 f 在 处连续�且

　证明� 【答案】先证 .由已知条件�有

　或

　 由式�1�可得

　 将上述丌等式相加�可得

　令 由于 f 在 处连续�所以有

　即

　这表明

　同理可证.

　6� 设 是丌含原点的有界区域�其体积为 V�边界为光滑的闭曲面是 的外法线单位向量�是 上的连续可微函数�它满足微分方程求

　【答案】因为 的单位向量为 其中 E的外法线单位向量为 则

　所以

　7� 设 所有二阶偏导数都连续�求

　【答案】由题意知

　8� 设试求

　【答案】对方程组

　关于 x 求导得

　解乊得

　 9� 过直线 P:作曲面 的切平面�求此切平面的方程. 【答案】设 切点坐标为则

　 曲面在点 的法向量为 又过直线 T 的平面方程为

　即

　其法向量为 于是有

　解乊得

　故所求的切平面方程为

　 2017 年湖南大学金融不统计学院 610 数学分析考研导师圈点必考题汇编�三� 说明�①本资料为 VIP 学员内部使用�整理汇编了历届导师圈点的重点试题及常考试题。

　—————————————————————————————————————————— 一、证明题

　1� 设证明

　【答案】因为 所以存在 N,当 时�有 于是 又因为所以

　 2� 利用条件极值方法证明丌等式

　【答案】取目标函数 约束条件为 。拉格朗日函数为 对 L 求偏导数�令它们等于 0,则有

　解方程组易得稳定点是

　为了判断 是否为所求条件极值�可把条件 看作隐函数 并把目标函数 看作不 的复合函数 于是

　当

　 由此可得稳定点为极大值点�即有丌等式

　即

　 3� 证明�若 均为区间Ⅰ上凸函数.则也是Ⅰ上凸函数。

　【答案】因为 均为区间 I 上的凸函数�所以对仸意的 及 总有

　 由于 因而

　于是

　 由式①〜式④得

　即 故 是 I 上的凸函数

　二、解答题

　4� 求椭圆 的内接矩形中面积最大的矩形. 【答案】设内接矩形的第一象限内的顶点为 则矩形面积为

　求 的最大值点等价于求. 的最大值点.从

　又

　 即点 是函数 在 内的最大值点�从而也是函数 在 内的最大值点�故最大内接矩形的面积为

　 5� 设

　�1�证明� 是极小值点� �2�说明 f 在极小值点 处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件。

　【答案】�1�当 时� 而 故 是 的极小值点 �2�因为 所以 在 连续.当 时�

　由导数的定义得

　 取

　则

　于是对仸意的 总存在 使得 所以 在极小值点 处丌满足第一充分条件。又因

　故 在极小值点 处也丌满足第二充分条件。

　6� 求下列函数在指定点的导数� �1�设 求

　�2�设 求

　�3�设.求

　【答案】⑴

　 �2�

　�3�当 x>0时�

　故

　为 的定义域的端点�所以在 x=0处只能讨论单侧导数.

　所以 丌存在.

　7� 计算下列反常积分的值�

　 【答案】

　 �4�令 则 由�3�的结论得

　 8� 已知数列的极限存在�求此极限. 【答案】

　�舍去�

　 9� 求下列函数的周期� �1�

　�2�

　 �3�

　【答案】�1� 的周期 做 的周期是

　�2�由 tanx 的周期是 可知� 的周期是

　�3� 的周期 的周期 4 和 6 的最小公倍数是 12,故的周期是 .

　 2017 年湖南大学金融不统计学院 610 数学分析考研导师圈点必考题汇编�四� 说明�①本资料为 VIP 学员内部使用�整理汇编了历届导师圈点的重点试题及常考试题。

　—————————————————————————————————————————— 一、证明题

　1� 证明级数 条件收敛. 【答案】因为 所以该级数为交错级数.令则

　所以当 时�数列 单调递减�且 由莱布尼茨判别法知级数收敛.因为

　而 发散�所以 发散.故原级数为条件收敛.

　2� 证明�若数列 有 �则 (1)级数. >发散� (2)当时�级数

　 【答案】(1)级数的前 n顷和

　则 故级数发散. (2)级数的前 n顷和

　 3� 区间上的连续函数如果在任何有理点为零�证明:此函数恒为零. 【答案】利用连续函数的局部保号性. 设函数为 可以证明对于仸意的无理点�函数值都为零�对于区间上的仸意无理点 存在有理点列 使得 则由函数的连续性可知

　即证得在仸意的无理点处函数值都为零. 又由已知函数在仸何有理点为零�故此函数恒为零.

　二、解答题

　 4� 估计下列近似公式的绝对误差�

　 【答案】�1� 的麦克劳林公式为

　当 时�绝对误差的估计为

　�2�由 的带有拉格朗日型余顷的麦克劳林公式得

　当 时�

　 5� 设 其中由方程 所确定的隐函数求

　【答案】由 所确定的隐函数 胃得故

　 6� 设 为定义在平面曲线弧段上的非负连续函数�且在 上恒大于零. 试问在相同的条件下�第二型曲线积分 是否成立?为什么� 【答案】丌一定成立�如取 为从 到 的直线段�取 则

　7� 计算第二型曲线积分

　(1) 沿逆时针方向� (2) 的边界�沿逆时针方向。

　【答案】(1) L 的参数方程为

　所以

　 (2)

　8� 求积分 【答案】

　而

　 所以

　又因为

　所以

　 9� 求由椭圆所界的面积�其中

　【答案】设则

　所以椭圆面积

　 2017 年湖南大学金融不统计学院 610 数学分析考研导师圈点必考题汇编�五� 说明�①本资料为 VIP 学员内部使用�整理汇编了历届导师圈点的重点试题及常考试题。

　—————————————————————————————————————————— 一、证明题

　1� 若且级数 绝对收敛�证明级数 也收敛.若上述条件中只知道 收敛�能推得 收敛吗� 【答案】由 可得 又因为级数 绝对收敛�故级数 丨收敛�进而 收敛. 若仅知道 收敛�未必有 收敛.如

　则 收敛�但 发散.

　2� 设函数 f(x)和 g(x)在[a�b]内可积�证明:对[a�b]内任意分割

　有

　【答案】由积分的定义知

　且

　由于 可积�所以 ( 为振幅) 所以

　所以原命题成立.

　3� 证明�函数项级数 在 上丌一致收敛�但和函数在上无穷次可微. 【答案】由于 所以 〈一致收敛于 0,从而 在 上丌一致收敛.

　 对 仸 意 的 存 在 使 得 由 于 对 仸 意 的�有且由根式判别法易知 收敛�所以在 |上一致收敛�从而用数学归纳法可得和函数在 上无穷次可微.由的仸意性可知和函数在 1上无穷次可微.

　二、解答题

　4� 求曲面 az=xy 包含在圆柱 内那部分的面积. 【答案】设曲面面积为 S.由于

　所以 其中 D 为 应用广义极坐标变换�

　 5� 求下列函数的导函数�

　【答案】

　故

　 �19�对函数式取对数�得 两边求导得

　� 20 � 对 函 数 式 取 对 数 � 得 两 边 再 取 对 数 � 得两边求导�得 所以

　 �21�

　6� 求 a,b 之值�使得椭圆 包含圆 且面积最小. 【答案】椭圆的面积 先求 a�b 所满足的约束条件 欲使 S最小�必项要求椭圆不圆相切�在切点处纵坐标 y 值和斜率 值应相等�即

　从式(2)中解出 代入式(1)可得�

　构造拉格朗日函数

　由

　解乊可得� 由于实际问题存在最小值�所以这唯一的极值点必是最小值点�最小值

　 7� 设求

　【答案】令

　所以

　 8� 设 二阶可导�且有稳定点�且

　(1)试求 的所有稳定点� (2)证明 的所有稳定点都是退化的�即在这些稳定点处� 是退化矩阵(即在稳定点处 【答案】(1)因为

　令 则 设 的稳定点的全体为 D,所以 的所有稳定点的全体为

　(2)设 是�的一个稳定点�因为

　所以

　即 为退化矩阵( 时结论丌一定成立)。

　9� 求所示平面图形绕 y 轴旋转所得立体的体积。

　【答案】

篇六：湖南大学数学研究生好考吗

复习 重点 资料 （最新版）封面第1页资料见第 三 页

　温馨提示提示：本套资料经过精心编排，前 2 页是封面和提示部分，后面是资料试题部分。资料涵盖了考试的重点知识和题型，可以很好的帮助你复习备考。资料不在多而在精，一套系统的涵盖考试重点的资料，能够帮助你很好的提高成绩，减轻学习负担，再加上自己勤奋练习，肯定能取得理想的成绩。寄语：无论你是考研、期末考试还是准备其他考试，既然决定了，就要坚持到底，花几个月的时间，精心准备，在加上资料的帮助，必然会得到回报。1.一份合理科学的学习计划是你备考的领航灯。要有总体的时间规划，也要有精细到每天的计划，不打无准备的仗。2.资料需要反复练习，任何一件看似轻而易举的事情，都是经过反复刻意练习的结果。公众号:第七代师兄,学习也是一样的，手里的资料，一定要反复练习几遍，才能孰能生巧，融汇贯通，考场上才能轻松应对。3.态度决定一切，不要手稿眼底，从最基础的知识学起，基础扎实了，才能平底起高楼，才能将各类知识点运用自如。4.坚持到底，无论是考试还是做事情，很多人打败自己的永远是自己。切记心浮气躁，半途而废。5.希望这套资料能够很好的帮助你复习备考，祝学习进步，加油。第2页

　目 录1 湖南大学 2007 年研究生入学考试试题数学分析 52 湖南大学 2008 年研究生入学考试试题数学分析 63 湖南大学 2009 年研究生入学考试试题数学分析 74 湖南大学 2010 年研究生入学考试试题数学分析 85 湖南大学 2011 年研究生入学考试试题数学分析 96 湖南大学 2012 年研究生入学考试试题数学分析 107 湖南大学 2013 年研究生入学考试试题数学分析 118 湖南大学 2014 年研究生入学考试试题数学分析 129 湖南大学 2015 年研究生入学考试试题数学分析 1310 湖南大学 2016 年研究生入学考试试题数学分析 1411 湖南大学 2017 年研究生入学考试试题数学分析 1612 湖南大学 2007 年研究生入学考试试题高等代数 1813 湖南大学 2008 年研究生入学考试试题高等代数 2014 湖南大学 2009 年研究生入学考试试题高等代数 2215 湖南大学 2011 年研究生入学考试试题高等代数 2416 湖南大学 2012 年研究生入学考试试题高等代数 2617 湖南大学 2013 年研究生入学考试试题高等代数 2818 湖南大学 2014 年研究生入学考试试题高等代数 3019 湖南大学 2015 年研究生入学考试试题高等代数 3120 湖南大学 2017 年研究生入学考试试题高等代数 334

　1. 2007年湖南大学 《数学分析》研究生入学考试试题1. ( 18 分) 计算(1) limnÑ8nÿk“1k 2n 3 ` 2n ` k;(2) limnÑ8lnnd2ˆ2 `2n˙ˆ2 `4n˙¨¨¨ˆ2 `2 p n ´ 1 qn˙.2. ( 16 分) 设 x 1 “ 1,2x n`1 “ x n `cx 2n `1n pp p ą 1 q , n “ 1,2, ¨¨¨ , 证明: 数列 t x n u 收敛.3. ( 16 分) 设 f p x q 在 r a,b s 上连续, 在 p a,b q 内可导, 且 b ą a ą 0, 证明: 存在 ξ, η P p a,b q 使得f 1 p ξ q “a 2 ` ab ` b 23ηf 1 p η q .4. ( 16 分) 确定下面函数的连续区间g p y q “ż`80ln p 1 ` x 2 qx ydx.5. ( 16 分) 设 f n p x q 在 r a,b s 上连续 p n “ 1,2, ¨¨¨q , 且 t f n p x qu 在开区间 p a,b q 内一致收敛于 f p x q . 证明t f n p x qu 在闭区间 r a,b s 上一致收敛.6. ( 18 分) 设 f p t q 是 r 0,1 s 上的连续函数, 令F p x,y q “ż10f p t q| x ` y ´ 1 | dt.其中 x,y 满足 x 2 ` y 2 ď 1, 求二阶偏导数 F xx 和 F yy .7. ( 16 分) 求函数f p x q “ arctan2x2 ´ x 2`14ln | x 2 ´ 2x ` 2 | ´14ln | x 2 ` 2x ` 2 | ´12arctan p x ´ 1 q ´12arctan p x ` 1 q ,关于 x 的幂级数展开式和收敛半径.8. ( 16 分) 计算积分I “ijDp x ` y qp ln p x ` y q ´ lny q? 2´ x ´ ydxdy,其中区域 D 为 x “ 0,x ` y “ 1,y “ x 所围成的三角形区域.9. ( 16 分) 设 f p x,y q 在区域 C : | x ´ 1 | ď 2, | y ´ 1 | ď 2 上具有二阶连续偏导数, f p 1,1 q “ 0, 且在点 p 1,1 q达到极值, 又设ˇB 2 f p x,y qB x l B y 2´lˇď M, p x,y q P G,其中 0 ď l ď 2, 取区域 D : 0 ď x ď 1,0 ď y ď 1, 试证:I “żDf p x,y q dxdy ď712 M.5

　2.1. ( 16 分) 设实数列 t x n u 满足 x n ´ x n´2 Ñ 0 p n Ñ 8q . 证明:limnÑ8x n ´ x n´1n“ 0.2. ( 16 分) 设函数 f p x q 在 p 0,1 q 内有定义, 且有 e x f p x q 和 e ´fpxq 为 p 0,1 q 内的单调递增函数. 证明 f p x q在 p 0,1 q 内连续.3. ( 16 分) 设函数 f p x q 在 r 0,1 s 上可微, 且令sup0ăxă1| f 1 p x q| “ C ă 8 ,证明, 对任何正整数 n, 有ˇn´1ÿj“0f`jn˘n´ż10f p x q dxˇďC2n .4. ( 16 分) 计算积分I “ijDsiny cosyydxdy,其中 D 是由直线 y “ x 与抛物线 x “ y 2 所围成的区域.5. ( 16 分) 证明ijSf p ax ` by ` cz q dxdy “ 2ż1´1? 1´ u 2 f p u ? a 2 ` b 2 ` c q du.其中 S : x 2 ` y 2 ď 1, a 2 ` b 2 ‰ 0.6. ( 16 分) 求 g 1 p α q , 设g p α q “ż`81arctanαxx 2 ? x 2 ´ 1dx.7. ( 22 分) 设函数列 f n p x q “ n α xe ´nx , 当参数 α 取什么值时, 有(1) 函数列在闭区间 r 0,1 s 上一致收敛;(2) limnÑ8ż10f n p x q dx 可以积分号下去极限.8. ( 16 分) 证明恒等式ż10dxx x“8ÿn“11n n.9. ( 16 分) 设 p p x q 为实系数多项式, 证明limnÑ8 p n` 1 qż10x n p p x q dx “ p p 1 q ,如果 f p x q 为区间[0,1] 上的连续函数, 关于下式limnÑ8 p n` 1 qż10x n f p x q dx,你能得到一个什么结论, 并证明你的结论.62008年湖南大学 《数学分析》研究生入学考试试题

　3.1. ( 16 分) 求极限limnÑ8nźk“2k 3 ´ 1k 3 ` 1 .2. ( 16 分) 设 f 在 r a,b s 上连续, 若对开区间 p a,b q 中的任一点均非 f 的极值点, 则 f 在 r a,b s 上单调.3. ( 16 分) 已知 f p x q 在 r 0,1 s 上连续, 并且有ż10f p x q dx “ 0,ż10xf p x q dx “ 1.证明: 存在 ξ P r 0,1 s , 使得 | f p ξ q| ą 4.4. ( 16 分) 设函数 f p x q 在 p´8 , `8q 上无限次可微, 且满足:1) 存在 M ą 0, 使得 | f pkq p x q| ď M, x P p´8 , `8q , k “ 1,2, ¨¨¨ ;2) fˆ12 k˙“ 0, n “ 1,2, ¨¨¨ .证明: f p x q 在 p´8 , `8q 上恒为零.5. ( 16 分) 计算积分ż`801x 4 ` 1 dx.6. ( 16 分) 积分ż`81f p x q dx 收敛, 且 f p x q 在 r 1, `8q 上单调递减, 试证:limxÑ`8xf p x q “ 0.7. ( 22 分) 设二元函数f p x,y q “$’&’%p x 2 ` y 2 q cos1? x 2` y 2, x 2 ` y 2 ‰ 0;0, x 2 ` y 2 “ 0.1. 求 f 1x p 0,0 q , f1y p 0,0 q ;2. 证明: f 1x p 0,0 q , f1y p 0,0 q 在 p 0,0 q 点不连续;3. 证明: f p x,y q 在 p 0,0 q 点可微.8. ( 16 分) 求积分ijΣy 2 zdxdy ` xzdydz ` x 2 ydxdz.其中 Σ 是 z “ x 2 ` y 2 ,x 2 ` y 2 “ 1 和坐标面在第一卦限所围成曲面的外侧.9. ( 16 分) 记空间区域 V t “ tp x,y,z q| 0 ď x ď t,0 ď y ď t,0 ď z ď t u , 设F p t q “¡V tf p xyz q dxdydz,其中 f p u q 有一阶连续导数, 求 F1 p t q .72009年湖南大学 《数学分析》研究生入学考试试题

　4.1. ( 16 分) 设正项级数8ÿn“1a n 收敛, 数列 t y n u : y 1 “ 1,2y n`1 “ y n `ay 2n ` a n ,p n “ 1,2, ¨¨¨q . 证明:t y n u 是递增的收敛数列.2. ( 22 分) 假设函数 f p x q : r 0,1 s Ñ R 有连续导数, 并且ż10f p x q dx “ 0, 证明: 对于 @ α P p 0,1 q , 有ˇżα0f p x q dxˇď18max0ďxď1| f 1 p x q| .3. ( 16 分) 计算积分ż π20cos2nxlncosxdx.4. ( 16 分) 计算f p y q “ż`80e ´x2cos p 2xy q dx, ´8 ă y ă `8 .5. ( 16 分) 设 u p x,y q 的所有二阶偏导数都连续, 并且B 2 uB x 2´B 2 uB y 2“ 0,现若已知u p x,2x q “ x, u 1 x p x,2x q “ x 2 ,试求 u xx p x,2x q , u yy p x,2x q .6. ( 16 分) 计算线积分¿Crp x ` 1 q 2 ` p y ´ 2 q 2 s dS,其中 C 表示曲面 x 2 ` y 2 ` z 2 “ 1 与 x ` y ` z “ 0 的交线.7. ( 16 分) 设 f p x q 为 r 1,2 s 上的连续正值函数, 令 M n “ż21x n f p x q dx, n “ 1,2, ¨¨¨ , 证明: 幂级数8ÿn“1t nM n的收敛半径 r 满足12ď1rď 1.8. ( 16 分) 设 f p x q “ p arctanx q 2 , 求 f pnq p 0 q .9. ( 16 分) 计算三重积分¡x 2 `y 2 `z 2 ď1,x 2 `y 2 ´z 2 ě 12zdxdydz.82010年湖南大学 《数学分析》研究生入学考试试题

　5.1. ( 16 分) x n P p 0,1 q ,x 0 “ p,x n`1 “ p ` εsinx n , p n “ 0,1,2, ¨¨¨q , 证明: η “ limnÑ8x n 存在, 且 η 为方程xsinx “ p 的唯一根.2. ( 22 分) f p x q 在 r 0,1 s 上连续, f p 1 q “ 0, 证明:(1) t x n u 在 r 0,1 s 上不一致收敛;(2) t f p x q x n u 在 r 0,1 s 上一致收敛.3. ( 16 分) 已知8ÿn“11n 2“π 26, 求ż`80ln p 1 ` e ´x q dx.4. ( 16 分) 函数 f p x q , g p x q 在 r a,b s 上黎曼可积,żbag p x q dx “ 1,g p x q ě 0, 且 ϕ 2 p x q ě 0, 证明:ϕˆżbag p x q f p x q dx˙ďżbag p x q ϕ p f p x qq dx.5. ( 16 分) 求f p y q “ż`801 ´ e ´xyxe 2xdx, y ą ´ 2.6. ( 16 分) 函数 f p ξ,η q 的所有二阶偏导数都连续, 并且满足拉普拉斯方程B 2 fB ξ 2`B 2 fB η 2“ 0,证明函数 z “ f p x 2 ´ y 2 ,2xy q 也满足拉普拉斯方程B 2 zB x 2`B 2 zB y 2“ 0.7. ( 16 分) 计算曲面积分ijSp 6x 2 ` 4yx 2 ` z q ds, S 为单位球面 x 2 ` y 2 ` z 2 “ 1.8. ( 16 分) 设 f p x q 在 r 0,1 s 上黎曼可积, 在 x “ 1 可导, f p 1 q “ 0, f 1 p 1 q “ a, 证明:limnÑ8n 2ż10x n f p x q dx “ ´ a.9. ( 16 分) 已知 a ď b ď c, 且 x P r 0,a s , y P r 0,b s , z P r 0,c s , 又设 f p x,y,z q “ min p x,y,z q , 计算ża0żb0żc0f p x,y,z q dzdydx.92011年湖南大学 《数学分析》研究生入学考试试题

　6.1. ( 16 分) 求下列极限:(1) limnÑ8 p n! q1n 2 ;(2) limxÑ01x 4r ln p 1 ` sin 2 x q ´ 6 p3? 2´ cosx ´ 1 qs .2. ( 22 分) 设 f p x q 在 r a,b s 上连续, 对于 @ x P r a,b s , 存在 y P r a,b s , 使得| f p y q| ď L | f p x q| , 0 ă L ă 1.证明: 至少存在一点 ξ P r a,b s , 使得 f p ξ q “ 0.3. ( 18 分) 设 f p x q 在每个有限区间 r a,b s 上可积, 且 limxÑ`8f p x q “ L, limxÑ´8f p x q “ M 存在, 证明: 对任何一个实数 r ą 0, 反常积分ż`8´8r f p x ` r q ´ f p x qs dx,存在, 并求其值.4. ( 16 分) 研究数列的敛散性:x n “nÿk“1k ´23 ´ 3n13 .5. ( 16 分) 设 f 为可微函数, u “ f p x 2 ` y 2 ` z 2 q , 且 x,y,z 满足方程 3x ` 2y 2 ` z 3 “ 6xyz p˚q , 试对于以下两种情况, 分别求出B uB x在点 P p 1,1,1 q 处的值.(1) 由方程 p˚q 确定的隐函数 z “ z p x,y q ;(2) 由方程 p˚q 确定的隐函数 y “ y p x,z q .6. ( 18 分) 设 f p x,y q “ sgn p x ´ y q , 证明: 含参量积分 F p y q “ż10f p x,y q dx 在 p´8 , `8q 上连续.7. ( 16 分) 设区域 D 为 x 2 ` y 2 ď 1, 证明:59231 πďijDap x 2 ` y 2 q 3 sin p x 2 ` y 2 q dxdy ď27 π.8. ( 16 分) 计算曲面积分ijD| xyz | ds, 其中 S 为曲面 z “ x 2 ` y 2 被平面 z “ 1 所割下的部分.9. ( 16 分) 对于三角形 4ABC, 求 18sinA ` 4sinB ` 3sinC 的最大值.102012年湖南大学 《数学分析》研究生入学考试试题

　7.1. ( 16 分) 设 f p 1 q “ 2ż 120e 1´x2 f p x q dx, 证明: 存在 ξP p 0,1 q , 使得 f 1 p ξ q “ 2ξf p ξ q .2. ( 16 分) 函数 f p x q 满足| f 1 p x q| ď r ă 1, ´8 ă x ă `8 .设 x n`1 “ f p x n q , 证明: 极限 limnÑ8x n 存在.3. ( 16 分) 展开下面函数为 x 的幂级数, 并确定收敛域:f p x q “´ 1p 1 ´ x q 2` xln p ? 1 ` x 2 ´ x q .4. ( 20 分) 证明:(1)żkπ1| sinx |xdx ą2πlnk ` 12;(2)ż`80sinxxdx 收敛但非绝对收敛.5. ( 16 分) 设 S p x q “8ÿn“1a n x n , 其中 a 1 “ a 2 “ 1, a n “ a n´1 ` a n´2 , p n ą 2 q , 求和函数 S p x q 及其收敛半径.6. ( 18 分) 已知u p x,t q “12ż10dηżx`1`ηx´1`ηf p ξ,η q dξ,且有 f p ξ,η q ,f ξ p ξ,η q 连续, 试求B 2 uB t 2´B 2 uB x 2.7. ( 16 分) 设函数 f p x,y q , f y p x,y q 在 p x 0 ,y 0 q 的邻域内连续, 证明: 在 x “ x 0 的某邻域内, 由方程y “ y 0 `żxx 0f p ξ,y q dξ 可以确定某个可导函数 y “ y p x q , 并求 y 1 p x q .8. ( 16 分) 证明不等式e y ` xlnx ´ x ´ xy ě 0, p x ě 1, y ě 0 q .9. ( 16 分) 计算 I “żLy 2 dx ` z 2 dy ` x 2 dz, 其中L :$&%x 2 ` y 2 ` z 2 “ R 2 ;x 2 ` y 2 “ Rx,R ą 0, z ě 0取逆时针方向为正向.112013年湖南大学 《数学分析》研究生入学考试试题

　8.1. ( 15 分) 用极限定义证明若 limnÑ8a n “ a, 则limnÑ8a 1 ` a 2 `...

篇七：湖南大学数学研究生好考吗

上清华研究生的自考生经历 一、 序言

　 2011 研究生考试尘埃落定， 早该写点东西了， 但是为什么一直拖到现在还没写呢？ 理由有三：

　1、 本性疏懒， 要写就得写很多， 太累， 而这又不是非完成不可的任务；

　2、 我不想写， 因为我总觉得我一写， 就有自夸、 炫耀、 卖弄之嫌。

　事实上，只要我一提笔， 我满脑子就是：

　我考上清华了？ 清华这么容易考？ 我真是很聪明？ 这自然是讨骂的话， 免不了被网友拍砖拍死；

　3、 我向来不喜欢分析、 总结， 而且写给后来人看也没什么好处， 因为我一直认为人与人是不同的， 别人的东西就是别人的东西。

　但是我又有充分的理由要写， 理由也有三：

　1、 我是中专生， 我是自考本科， 我一次成功， 今年以 400 多分考取清华；

　2、 身边的人要我写出血泪史， 部分考研的兄弟， 尤其是考清华的（很多都比较狂）

　， 还是会看我的文章的；

　3、 虽然别人的东西是别人的， 有的同志不一定会借鉴我的学习方法， 但是从我的事例中可以看到希望。

　二、 心路历程

　 我是 1996 年的中专生， 是包分配的最后一代。

　和现在的同志们比起来， 我算是老大姐了。

　初中毕业升学考试时， 因为成绩太好， 不得不读中专。

　我的四年中专生涯， 是在苦恼中度过的。

　当年年纪轻轻的我， 苦苦思索的是生命的问题：我们为什么来到这个世界上， 活着为了什么。

　所以总的来说我比较神经质， 常看些哲学类书籍， 很深奥， 搞得自己故作深沉。

　自考也有参加， 但没有努力， 所以成果不多。

　2000 年中专毕业后， 我模糊地树立了更上一层楼的目标， 自考也认真起来。2002 年 6 月、 12 月轻松依次通过英语四六级考试的骄人战绩， 充分证明了我的自学能力。

　于是在家人的支持下， 我有了考研的想法。

　2004 年 7 月， 我拿到了本科文凭， 开始全心全意地准备考研。

　当然， 之前的自考、 英语， 其实也算是考研准备过程的一部分吧。

　我不太懂行， 就把想考的学校分成三等， 每等中选择一个代表：

　最好----清华大学； 一般----湖南大学； 末等----长沙交通学院。

　很简单很明了， 是不是很可笑， 因为我对大学根本就不了解。

　清华是人人都知道的， 后两个是本土院校可以去学校看看。

　至于什么土木排名， 什么同济天大， 我根本搞不清， 也太遥远。志愿就在这三者之间摇摆， 我时而悲观， 时而狂妄。

　悲观时觉得什么都不会， 超

　 多能人都倒下， 中专生有的只是劣势， 交院土木道桥很火的， 只怕我也不能考上，至于湖大， 简直是癞蛤蟆想天鹅屁吃， 清华是连在梦中也是遥不可及的。

　因为我本科的主考院校是交院， 9 月份我去了交院， 一个力学老师得知我欲考湖大（我压根儿不敢提清华， 说出湖大来已能吓死人了）

　， 委婉地说外面很难， 尤其是专业课， 会死得很惨， 往年已有倒下的先例。

　乐观时觉得英语六级都随便过了， 交院不少学生为四级受尽折磨， 研究生和我同堂考六级， 我这水平怎么能考交院，考湖大只怕也有点浪费， 天才就该到天才的地方去， 清华又有什么难？ 只要我足够努力， 一定能够考上清华！

　问题是我自认从来不是足够努力的人， 我懒惰， 我躲避挑战。

　尽管摇摆不定， 但是有句话说得好：

　“求其上， 得其中； 求其中， 得其下；求其下， 则无所得。

　” 我认为这句话很对， 所以虽然我不敢宣扬要考清华， 也不是一定要考清华， 但还是以考清华为目标来学习。

　我一点点地去做， 不知道自己拥有了多少， 就是填鸭式地往这个还算好使的脑袋里装东西。

　但行好事， 莫问前程！

　迷茫时我对自己说。

　如果考湖南大学， 务必要一次成功， 但是清华。

　在我决定报清华时， 我是做好再考准备的， 内心里有个三年计划。

　家里人有一句话很经典：

　“你考上清华正常， 考不上清华也正常。

　” 这真是太对了。

　我学习能力这么强， 清华不是遥不可及； 清华名头那么大， 天下能人那么多， 我考不上太平常不过了。

　我这种超没自信心的人竟然最后自己作主敲定报考清华大学， 现在想来我都讶异自己的勇气。

　可能刺激我的还是家人那种“看你有没有胆考清华” 的眼神。连试都不敢试， 我不服气。

　对我来说， 清华不仅是名牌大学、 最好的理工科院校，而且其校训“自强不息， 厚德载物” ， 挺合我这种旁门左道的胃口。

　正如前辈们说的， 清华是一个梦想， 一个目标， 一种激励。

　也许对所有外校考清华的， 清华都是这样一个梦想吧。

　学习过程中， 不可避免的， 意气风发有时， 沮丧绝望有时。

　对待情绪低沉，我的办法是放任自流， 不勉强自己。

　不高兴就不学， 因为学也学不进去。

　比之中专同学， 我牺牲了很多， 那些姐姐们有了固定单位， 动不动就有十几万存款了， 可是我呢， 还负了几万元的债， 想这些心情就会不好。

　考不上研究生我一无所有， 考上了又如何？ 未来是不确定的， 未来无限可能， 博士学位也不能保证未来的美好。

　背水一战、 破釜沉舟这些词时常跃入我脑中。

　所以经常会烦躁，经常幻想考不上会如何如何， 至于考上后的美景， 想得较少。

　我喜欢这个专业吗？ 不知道。

　只是我学习从事了八年， 就继续吧， 懒于换行。曾提过我爱好历史， 想学史学， 但立即被家里否决了。

　我喜欢文科些吗？ 我文科强些吗？ 我常常这样想。

　初中时物理、 化学都曾经很差， 中专时学电工电子不通让我一度怀疑自己不是理科的料。

　但是世事难料， 我不是偏科的人， 最后似乎理科考得好些。

　三、 实战经验

　 四门课程中， 政治、 英语我自认是强项， 而且花再多的精力也不一定能考上高分， 所以我分配的时间一般。

　政治方面， 我向来信仰共产主义， 不象某些同志那样反对书里的思想， 党的思想政策从小就灌输， 基本思想是根深蒂固不用复习的， 要看的只是些细节， 70 分是没问题的。

　最后结果很遗憾， 差一分到 80。

　英语方面定的目标也是 70 分以上。

　买了 04 版大纲， 为的是背记单词， 但到考前还很多单词不认识。

　石春祯 220 篇， 纯粹是为扩大阅读量； 张锦芯 100 篇；真题； 为新大纲而买的专项训练书（这种匆匆出的书都是垃圾）

　。

　还有黑博士8100 词汇突破买了看了不到 10 页； 毕金献模拟题做了一半， 那确实是如众网友所说----做了想哭， 只有自我打击的份， 不想自虐的人千万别做， 我没一份能及格， 很郁闷。

　封套上吹嘘的话真是笑料：

　“每做一份， 就给考生增添一份成功的信心。

　” 如果不是过了英语六级， 真会怀疑自己只能考 40 分。

　我是从来不练英语作文的， 考场临时发挥， 因为以前爱朗读， 所以语感不错， 作文也不是太差。我六级有 76 分， 后来又自学了新概念英语第四册， 另外做了那些阅读理解也不少， 最后只考了 74 分， 不太满意。

　专业课有 150 分， 理论上应重视， 但事实是， 因为专业课很难， 又没有人可以请教， 我一直畏难不学。

　觉得太难了， 搁置。

　直到 10 月国庆节（我也够可以的了， 都报名的时候了还有一半多专业课是零基础）

　， 我还没有看下册， 我其实也不想拖， 但一直存在幻想， 幻想到哪个大学里旁听一下下册的内容， 因为下册对我而言是全新的， 我一点基础也没有。

　尤其是动力学部分， 一看就发晕， 把书又收起来。

　这时我的想法是“找到解决办法” ， 而不是立即自学， 显然还抱有幻想。

　是的， 在 10 月 2 日写的一篇《目前形势和我的任务》 中， 我把结构力学列为重点、 难点。

　拟以争取外援的方式， 树立信心， 克服困难， 迎难而上， 啃这块并非啃不下的骨头。

　我知道我毕竟也是专业出身， 基础尚好， 只是以前学工程力学时就弄不懂运动和动力学部分， 现在更面对一本厚厚的书， 心理上未能克服畏惧， 无法进入状态。

　其实有我多年自学的经验， 跨过英语、 数学障碍的过程作基础， 我知道我面前没有什么陌生、 超难的科目。

　结构力学我也能搞定。

　我四处联系旁听， 也联系可以指点我的教授， 与人交往真不是我的强项， 碰到钉子更懒出击了。

　交院根本不上动力学部分； 湖大上得很快， 课次不多， 且已过了一半课次，我的旁听打算不了了之。

　翻看我的考研记事， 直到 11 月份， 死到临头了， 我才抖擞精神， 鼓足士气， 自己把那一半新书学了。

　总的来说， 四门课中， 专业课我最怕， 花的时间却最少， 分数也最令我不敢相信， 竟然有 110 多， 差点达到我幻想的分数。

　我本想有 100 以上就谢天谢地了。

　数学是我花时间最多的课程， 一则数一内容太多； 二则数学 150 分， 是得分的关键， 比之没有往年参照、 没有把握的专业课， 努力掌握后得高分的可能性大些。

　我比较重视基础， 看重教材。

　四本教材都买了， 包括同济版高等数学、 居余马版线性代数、 浙大版概率论。

　这都是前辈们交口称赞的经典教材。

　搞笑的是，概率论虽是浙大版， 但没有买对， 没买到盛骤的。

　因为我找了很久， 好不容易才找到浙大出版社， 一高兴就忘了盛骤这个名字了。

　因为没有高中基础， 所以高中数学书也弄了两本备查。

　7 月份过了一遍高中数学教材， 抄了一些公式， 才知道我比别人少了很多常识。

　最基本的三角函数、 体积公式我一直到临考还糊涂。

　我犯过愁， 但一位前辈说用不着再搞高中数学了， 我听了他的话， 糊涂就糊涂吧。然后是李永乐的数学复习全书、 陈文灯的数学复习指南、 题型精粹、 最后冲刺。

　 这些都是早些时买的。

　临考前又买了李永乐的 400 题、 真题、 恩波的模拟题， 一般做 130 分左右。

　刚开始自学数学的时候， 实在没有能搞定曲面积分、 重积分这些东西的信心。

　说实话， 什么第一、 二类曲线积分， 高斯公式、 斯托克斯公式，我非常头疼， 可是学通后不就是那么简单的事吗？ 豁然开朗、 无坚不摧的感觉，很舒服， 给你自信。

　最后考了 132 分， 基本实现目标， 基本上没有不会做的题、只有粗心做错了的， 而陈文灯、 李永乐书上部分题目至今不会， 所以考研的难度比他们的书略低。

　我没有参加过任何辅导班。想过一定要参加一个政治冲刺班， 后来天天泡网，知道有好心的同路人提供下载就没去上了。

　论坛里有很多和我一样的人呢， 也说大家下载的东西有没有看啊， 我是大部分没看的。

　打印的资料也许多， 徒然浪费纸张。

　我的学习过程是比较随意的， 常常订计划， 但计划甚少执行。

　学习任务的计划完成得还好， 每日计划我是从来没执行过一次的。

　心血来潮时我就回顾过去，展望未来， 计划次日起六七点起床， 11 点左右睡觉， 几小时英语， 几小时数学……但我几乎未在 8 点之前起过床， 冬日一般要到 9 点以后。

　没有哪天会四门课程都看， 一般是一周只看一科。

　不想做阅读理解， 做起来时一天做几十篇， 非常有成就感。

　每天想着早起读英语培养语感， 但累计只有十几个早上读了。

　我看书常有焦虑， 我喜欢数一数共有多少页， 一天能看多少页， 分多少天能看完。

　捏捏我看过的页数， 掂掂还剩下的厚度。

　所以我不喜欢一天分时段看不同的书， 我喜欢整块整块地完成一项工作， 那样才有成就感。

　为满足成就感， 我还喜欢把厚书拆分成几册， 各个击破。

　我不敢自诩天才， 但人与人真是不同的。

　家人觉得我很努力。

　我得承认， 我是坐得住， 定力很好， 但当我坐在书桌前埋头时谁知道我在做什么呢？ 谁知道我在想什么？ 我杂念很多， 常常神游物外。

　平均起来， 每天学习时间不超过 8 小时， 我喜欢睡觉， 并且给自己充分的时间睡觉， 爱睡多久睡多久， 早上一般起得很晚。

　因为我认为睡觉总之是养精神，没有害处， 哪天少于 8 小时我心不安一定要补上。

　我天天上网， 后期当然是学多玩少， 前期却基本上是上网玩， 化了很多时间，以致我一度想把电脑送人， 以绝我念。

　这些家人是不会知道的， 他们以为我用电脑只为学习。

　电脑成了我与外界联系的窗口， 成了我考研生活中几乎唯一的消遣。

　 四、 临场纪事

　 我考试的运气向来很好， 一般是超水平发挥。四场总的感觉是做得比较顺手，没有碰到一筹莫展的题目， 可说是都在复习范围之内， 连最没把握最提心吊胆的专业课也在自己熟悉的范围之内， 尽管难得很变态。

　考试那两天尽管脖子一直酸痛害我不停揉捏但我是乐呵呵的， 每次出考场打的回家我都是意气风发的， 我知道我不会再考了。

　考不上我也不会再考了， 因为在考试中我感觉已经到了一个境界， 已经没什么不会做的题了， 再来一年能提高的只是熟练程度。

　我不细心， 再

　 来一年我还是不会细心， 这个死毛病我怎么都改不了， 4+2=8 的错误我会照犯不误。

　这让我发愁得很， 我以蜗牛速度算数还是错， 我知道我无可救药。

　考试中， 自感挥洒自如， 有些洋洋得意。

　考完后， 23 日晚上， 想起一些错误， 上网对对答案， 不免大为沮丧， 此时我估数学不过 120 分， 专业我期望是上100 分的， 政治英语共>120， 只敢估高于 330 分。

　数学错了几道题对我是致命的打击， 因为政治英语谁也不会太高太低， 专业课据说改卷还有很多猫腻， 所以数学是我希望所在。

　至少要 130， 不然我哪有戏唱呢？ 现在只有 120 了， 我很悲观，在家人鄙视的眼光中， 还掉了几滴眼泪。

　刚考完心情激动， 在网上泡了几天， 对了几天答案， 几个月再不理会。

　考不上怎么办？ 这个问题慢慢升起。

　我的问题很严重很特别， 我已经没有多少提高的空间了。

　考时感觉那么好， 清华是最好的， 考不上清华我不可能考比它差的， 那我只有一条进修之路：

　出国！

　可是没有钱哪， 怎么办？

　 文章来源：

　研究生考试网 http://www.97yjs.com/

篇八：湖南大学数学研究生好考吗

章 插值方法、 三、 Newton插值五、 分段低次插值一、 插值多项式及存在唯一性插值五、 分段低次插值一、 插值多项式及存在唯一性、 二、 Lagrange插值四、插值四、 Hermite 插值

　本章要求• 1．熟练掌握拉格朗日插值、牛顿插值的基本思想与误差估计；• 2．掌握分段低次插值的概念算法；• 3．掌握三次样条插值及其算法的计算机实现；• 重点：多项式插值与误差估计、三次样条算法的计算机实现。

　 插值问题的背景且不利于在计算机上 其函数形式可能很复杂 对函数 , ), (x f0 1 2...na x x x x b ≤ < < < < ≤能否存在一个性能优良、便于计算的函数满足 比如多项式函数 ), (x P( ) 0,1,2,...,i iP x y i n = =) ( ) ( x f x P 近似代替 并且用------(1)个不同的点 上的一组在区间 可以获得 量 假如可以通过实验或测 运算1] , [ ) ( , ,+ nb a x f( ), 0,1,2,...,i iy f x i n = = 上的函数值

　这就是 插值问题,

　(1) 式为 插值条件,( ) ( ) P x f x 称函数 为函数 的插值函数( ) , P x 如果 为多项式函数 插 则称之为 值多项式, 0,1,2,..., ,ix i n = 点 称为插值节点[ , ] a b 区间 称为插值区间个等分点 上 若给定 如函数 5 ] , 0 [ , sin π x y =其插值函数的图象如图0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 500 . 10 . 20 . 30 . 40 . 50 . 60 . 70 . 80 . 91s in x 的 的 的xy0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 500 . 10 . 20 . 30 . 40 . 50 . 60 . 70 . 80 . 91s in x 的 的 的xy0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 500 . 10 . 20 . 30 . 40 . 50 . 60 . 70 . 80 . 91s in x 的 的 的xy0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 500 . 10 . 20 . 30 . 40 . 50 . 60 . 70 . 80 . 91s in x 的 的 的xy

　) ( ) ( x P x f 和插值函数 对于被插函数处的函数值必然相等 在节点ix) ( ) ( x f x P 的值可能就会偏离 但在节点外必然存在着误差 近似代替 因此 ) ( ) ( x f x P整体误差的大小反映了插值函数的好坏为了使插值函数更方便在计算机上运算,一般插值函数都使用代数多项式和有理函数本章讨论的就是代数插值多项式

　 插值多项式存在唯一性定理. ) () 1 (, , ,

　2 1存在且唯一的的的多项式 中，满足条件 的多项式集合互异，则在次数不超过 设节点存在且唯一的的的多项式 中，满足条件 的多项式集合互异，则在次数不超过 设节点x PH nx x xnnn证明：得 代入 将 ) 1 ( ) (22 1 0nn nx a x a x a a x P + + + + = = + + += + + += + + += + + += + + += + + +.,,1 01 1 1 1 00 0 0 1 0nnn n nnnnny x a x a ay x a x a ay x a x a a元线性方程组， 的 这是一个关于 1 , , ,1 0+ + n a a an

　其系数行列式nn nnnnx xx xx xx x x V  111) , , , (1 10 01 0= =是Vandermonde 行列式, 故∏∏=−= =−=− =niijj i nx x x x x V1101 0) ( ) , , , ( . 0≠ ≠于是方程组有唯一解，即满足(1)式的多项式存在且唯一。式的多项式存在且唯一。

　（一）线性插值给定两个点(x 0 ， ，y 0 ),(x 1 ， ，y 1 ),x 0 ≠x 1 ，确定一个一次多项式插值函数，简称，确定一个一次多项式插值函数，简称 线性插值 。 待定系数法设 设 L 1 (x)=a 0 +a 1 x , 代入插值点0 1 0 00 1 1 1a a x ya a x y+ = + =当x 0 ≠x 1 时，方程组的解存在唯一。即插值条件：L 1 (x i )= f(x i )=y i ,i=0,1Lagrange 插值就是选用节点上的函数值作为插值条件，选用代数多项式作为插值函数。就是选用节点上的函数值作为插值条件，选用代数多项式作为插值函数。 Lagrange 插值

　解之得，0 1 1 0 0 10 10 1 0 1, .x y x y y ya ax x x x− −= =− −因此，0 1 1 0 0 110 1 0 10 10 10 1 1 0( )x y x y y yL x xx x x xx x x xy yx x x x− −= +− −− −= +− −　　　 　　　（2）式称为一次Lagrange 插值。注：由求解过程知，用待定系数法，需要求解线性方程组，当已知节点较多时，即方程的未知数多，计算量较大，不便向高阶插值推广由求解过程知，用待定系数法，需要求解线性方程组，当已知节点较多时，即方程的未知数多，计算量较大，不便向高阶插值推广 。------(2)

　 插值基函数法分别构造两个节点上的一次函数，使其在本节点上的函数值为1，而在其他节点上的函数值为0。设分别构造两个节点上的一次函数，使其在本节点上的函数值为1，而在其他节点上的函数值为0。设l 0 (x), l 1 (x) 分别为满足上述条件的一次函数，即0 0 1 00 1 1 1( ) 1, ( ) 0( ) 0, ( ) 1l x l xl x l x= =   = = 　　　或简单地记为1, ,( )0, .i j iji jl xi jδ= = =≠　　　　　点 对于过两个节点 x 0 , x 1 的线性插值（2）式，令0 10 10 1 1 0( ) , ( )x x x xl x l xx x x x− −= =− −0 11 0 10 1 1 0( )x x x xL x y yx x x x− −= +− −　　(2)

　显然， l 0 (x), l 1 (x) 满足：线性插值函数可以写成节点上函数值的线性组合，即 L 1 (x) = l 0 (x) y 0 + l 1 (x) y 1 ．称l 0 (x), l 1 (x) 分别为x 0 , x 1 的插值基函数。( ) , , 0,1.i j ijl x i j δ = = 　0 11 0 10 1 1 0( )x x x xL x y yx x x x− −= +− −　　(2)满足插值条件：L 1 (x i ) = y i , i=0,1 线性插值的误差定理4.1.1

　设L 1 (x)为一次Lagrange插值函数, 若 f(x) 一阶连续可导，f "(x)在(a, b)上存在，则对任意给定的x∈(a ,b),至少存在一点ζ∈(a,b),使得证明 因为L(x i )= f(x i ),i=0,1,所以，R 1 (x 0 )=R 1 (x 1 )=0,即 x 0 ,x 1 为R 1 (x)的两个根。因此，可设R 1 (x)为1 1 0 1"( )( ) ( ) ( ) ( )( )2!fR x f x L x x x x xζ= − = − −

　1 0 1( ) ( ) ( ) ( )( )( ), t f t L t k x t x t x Ψ = − − − −固定任一 x，作辅助函数，令R 1 (x) = k(x)(x-x 0 )(x-x 1 ).则Ψ (x i )=0, i =0,1, Ψ (x)=0, 即Ψ (t)有3个零点x 0 , x 1 , x

　假定，x 0 < x < x 1 , 分别在[x 0 ，x]和[x，x 1 ]上应用洛尔(Rolle）定理，可知，Ψ ′ (t)在每个区间上至少存在一个零点，ζ 1 ，ζ 2 ，使Ψ ′ (ζ 1 )=0，Ψ ′ (ζ 2 )=0(此即Ψ ′ (t)有2个零点)。再利用洛尔定理知，Ψ ′ (t)在[ζ 1 ,ζ 2 ]上至少有一个零点ζ，使Ψ″ (ζ)=0.对Ψ (t)求2阶导数得，Ψ″ (t) = f″ (t) - -2!k(x),因为Ψ″ (ζ)=0，所以，有 k(x) = f″ (ζ) / /2!.

　 证毕。

　给定3个互异插值点(x i ,

　f (x i )), i = 0,1,2，确定一个二次插值多项式函数，即 抛物线插值（如图）。 待定系数法设 L 2 (x) = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 ,

　代入3个插值条件：L 2 (x i ) = f (x i ),

　 i =

　 0, 1, 2，解线性方程组可得 a 0 , a 1 , a 2 .（二）

　二次插值

　 插值基函数法构造3个节点上2次插值基函数 l 0 (x), l 1 (x), l 2 (x), 使满足l i (x j )= δ ij ， ， i, j = 0,1,2。

　。因为l 0 (x) 为2次插值基函数, 且l 0 (x 1 ) = l 0 (x 2 ) = 0, 所以可设l 0 (x) = A (x - - x 1 )(x - - x 2 )由条件：l 0 (x 0 ) = 1 ， 得0 1 0 21,( )( )Ax x x x=− −1 200 1 0 2( )( )( ) .( )( )x x x xl xx x x x− −∴ =− −同理可得，0 2 0 11 21 0 1 2 2 0 2 1( )( ) ( )( )( ) , ( ) .( )( ) ( )( )x x x x x x x xl x l xx x x x x x x x− − − −= =− − − −　　二次Lagrange插值多项式为22 0 0 1 1 2 20( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i iiL x l x f x l x f x l x f x l x f x== + + = 容易验证满足插值条件容易验证满足插值条件

　 二次插值的误差定理 4.1.2

　设L 2 (x) 为二次Lagrange 插值函数, 若f(x) ∈C 3 3 [ [a ，b ], 则任给x ∈(a , ,b ), 至少存在一点ζ=ζ(x) ∈(a, ,b ), 使2 2 0 1 2( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )3!fR x f x L x x x x x x xζ ′′′= − = − − −为 提示：因为 R 2 (x 0 ) = R 2 (x 1 ) = R 2 (x 2 ) = 0,

　可设2 0 1 2( ) ( )( )( )( ). R x k x x x x x x x = − − −作辅助函数2 0 1 2( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ), t f t L t k x t x t x t x Ψ = − − − − −易知，x 0 , x 1 , x 2 , x为 为 Ψ ( (t) 的4 个零点，在4个点两两组成的区间上，应用个点两两组成的区间上，应用Rolle 定理，然后再反复应用Rolle定理即得证。定理即得证。

　例 例 4.1.1 给定sin11 °=0.190809,sin12 °=0.207912,求线性插值，并计算sin11 °30" 和sin10 °30" 。解 x 0 = 11 °, x 1 = 12 °, y 0 = 0.190809, y 1 = 0.207912 ，1 0 1 0 1( 12) ( 11)( ) (12 ) ( 11) .11 12 12 11x xL x y y x y x y− −= + = − + −− −sin11 °30"≈L 1 (11.5)=0.199361,

　 sin10 °30"≈L 1 (10.5)=0.182258准确值为：sin11 °30’=0.199368sin10 °30’=0.182236由定理知， 误差为1 0 1( ) sin( )( ) ( )( ) ( 11)( 12).2! 2fR x x x x x x xζ ζ ′′ −= − − = − −11( ) ( 11)( 12)21(11.5 11)(11.5 12) 0.125.2R x x x ≤ − −≤ − − = 　　　　　　0 111 1211.52 2x xx++= = =

　例4.1.2 给定sin11 °=0.190809,sin12 °=0.207912,

　 sin13 °=0.224951, 构造二次插值，并计算sin11 °30 ′。解 x 0 = 11, x 1 = 12, x 2 = 13, y 0 = 0.190809,

　y 1 = 0.207912,

　y 2 = 0.224951 ，2( 12)( 13) ( 11)( 13)( ) 0.190809 0.207912(11 12)(11 13) (12 11)(12 13)( 11)( 12)0.224951(13 12)(13 12)x x x xL xx x− − − −= +− − − −− −+− −　　　 sin11 °30 ′≈L 2 (11.5) = 0.199369,sin11 °30 ′= 0.199368.

　例4.1.3 要制作三角函数sin x 的值表，已知表值有 四位小数，要求用线性插值引起的截断误差不超过，要求用线性插值引起的截断误差不超过 表值的舍入误差，试确定其最大允许的步长。，试确定其最大允许的步长。解 解 f (x)= sin x, 设 设 x i-1 , x i 为任意两个插值节点，最大允许步长记为为任意两个插值节点，最大允许步长记为 h = h i = x i － －x i-1 ，1 1 11 11 121 124( ) sin( ) ( )( ) ( )( )2! 21 1( )( ) ( )( )2 2 2 21( )( ) ,8 8110 , 0.02.8 2i i i ii i i ii i i ii i i ifR x x x x x x x x xx x x xx x x x x xhx x x xhhζ ζ− −− −− −− −−′′= − − = − −+ +≤ − − ≤ − −= − − =≤ ×  ≤　　　　　　 　　　 　　　

　（三）

　n 次插值知 已知 n+1 个互异插值节点 (x i ,

　f (x i )), i= 0, 1, 2, …, n , 研究研究 n 次插值多项式的存在性及其表示形式。 存在性：待定系数法设 设 n 次多项式为20 1 2( ) ... ,nn nL x a a x a x a x = + + + +------(3)代入插值点，即插值条件：L n (x i ) = f (x i ), i = 0, 1,2, …, n , 得 得20 1 0 2 0 0 020 1 1 2 1 1 120 1 2... ( )... ( )......... ( )nnnnnn n n n na a x a x a x f xa a x a x a x f xa a x a x a x f x + + + + =+ + + + =  + + + + =------(4)其范德蒙德(Vandermonde) 行列式为：

　20 0 021 1 10 1201 ...1 ...( , ,..., )... ... ...1 ...( ) 0,nnnnn n ni jj i nx x xx x xV x x xx x xx x≤ < ≤== − ≠∏　　　　　　　所以，(4) 的解存在唯一。解出(4) 的解a 0 , a 1 , …, a n ，代入(3)得 即得 n 次插值多项式次插值多项式 L n (x)。

　。 n 次插值多项式的构造：插值基函数法虽然方程组(4)的解存在唯一，但 用待定系数法求插值多项式却不是好方法求插值多项式却不是好方法 ，其计算量大，实际中不可取。

　维的 间是 的多项式构成的线性空 所有次数不超过 1 + n n根据线性空间的理论个多项式组成 维线性空间的基底也由 这个 1 1 + + n n并且形式不是唯一的表示 次多项式可由基底线性 而任意一个n且在不同的基底下有不同的形式0 1( ), ( ),..., ( ) 1nl x l x l x n + 设 为上述 维线性空间的一组基底0 1( ), ( ),..., ( )nl x l x l x 显然 线性无关0 1( ) ( ), ( ),..., ( )n nn L x l x l x l x 且任意 次多项式 可由 线性表示0 0 1 1( ) ( ) ( ) ... ( )n n nL x c l x c l x c l x = + + +

　造 分别构造 x 0 , x 1 , …, x n 的 上的 n 次插值基函数 l 0 (x),l 1 (x), …, l n (x), 满足性质：1, 0,1,2,...,( )0i j iji j nl xi jδ= = = = ≠　　，

　 即节点基函数x 0 x 1 x 2 … x nl 0 (x) 1 0 0 … 0l 1 (x) 0 1 0 … 0l 2 (x) 0 0 1 … 0… … … … … …l n (x) 0 0 0 … 1

　造 先构造 l 0 (x) 。由上表知， x 1 , x 2 , …, x n 为 为 l 0 (x) 的零点，设的零点，设0 0 1 2( ) ( )( )...( ),nl x a x x x x x x = − − −由 由l 0 (x 0 )=1 ，得00 1 0 2 01 200 1 0 2 01,( )( )...( )( )( )...( )( ) .( )( )...( )nnnax x x x x xx x x x x xl xx x x x x x=− − −− − − =− − −　　同理可设0 1 1( ) ( )...( )( )...( ),i i i i nl x a x x x x x x x x− += − − − −由 由l i (x i )=1 ，得1 1 11,( )...( )( )...( )ii i i i i nax x x x x x x x− +=− − − −　　

　于是可得， 基函数 为0 1 10 1 10( )...( )( )...( )( )( )...( )( )...( ), 0,1,...,i i nii i i i i nnji j jj ix x x x x x x xl xx x x x x x x xx xi nx x− +− +=≠− − − −=− − − −−= =−∏　　　 　　 　　　　　到 所以我们得到 n 次Lagrange 插值多项式 ：0 0 1 10( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )( ) ( )n n nni...

篇九：湖南大学数学研究生好考吗

017 年湖南大学数学与计量经济学院 813 高等代数考研题库�一� 说明�①本资料为 VIP 包过学员内部使用资料。涵盖了历年考研常考题型和重点题型。

　—————————————————————————————————————————— 一、分析计算题

　1� 把向量 表成向量 的线性组合� �1�

　� 2 � 【答案】�1�设 按各分量写出等式�得方程组

　对它求解�得

　故

　�2�设 按各分量写出等式�得方程组

　对它求解得 故

　 2� 下图表示一个电路网络�每条线上标出的数字是电阻�单位是欧姆��E 点接地�由 X�Y�U�Z 点通 入的电流皆为 100 安培�求这四点的电位.�用基尔霍夫定律.�

　 图 【答案】U, X,Y, Z 点的电位分别为

　 3 � 设 3 阶 矩 阵其 中 均 为 3 维 行 向 量 � 且 【答案】

　 4� 如果 是线性空间 P[x]中三个互素的多项式�但其中任意两个都不互素�那么它们线性无关. 【答案】设有一组数 使 要证 若有某 不妨设为 则可得

　由此知道�的公因式皆为 的因式.而题设 有非常数公因式�故有非常数公因式�与题设 互素矛盾.故 即线性无关.

　5� 设 为欧几里得空间 V 的标准正交基 .求正交变换 H�使

　【答案】令

　则

　是镜面反射�于是 H 是第二类正交变换.注意到

　直接验证

　故 H 为所求

　6� 设 V 是复数域上 n 维线性空间� 各为 V 的 维和 维子空间�试求 之维数的一切可能值. 【答案】取 V 啲一组基 再取 的一组基 �则

　7� 设 是 II 维线性空间 V 的一组基�A 是一个 矩阵�且

　证明� 的维数等于 A 的秩. 【答案】记 由式�6—21�知 在基 的坐标�_由

　是线性空间的同构映射�而同构映射保持向量组的线性相关性�故

　 8� 证明�上三角的正交矩阵必为对角矩阵�且对角线上的元素为+1 或-1. 【答案】设 A 是一个上三角矩阵�

　如果 A 还是一个正交矩阵�则有

　 由最后一行可得 逐行往上可得

　 即 A 为对角矩阵�且对角线上元素为 1 或-1.

　9� 设 为由全体正实数对运算

　 作成的实数域 R 上的线性空间�R 对普通加法与乘法作成 R 上线性空间.证明�

　【答案】证法 I 任取一个定实数 则易知 是 R 到 的一个映射�且显然是一个单射. 又对任意 即 b 是一正实数�令 则 故 又是满射�从而为双射. 又因为对任意 和有

　 因此� 证法 II 实数集 R �对普通加法与乘法�作成实数域上一维线性空间.下证 也作成实数域上一维空间. 中的零向量是 1,今在 中任取一非零向量 a,即 a 是一个非 1 的正实数�则当 时有.即 a 在 R 上线性无关.再任取 即 b 为正实数�则

　即 中每个向量都可由 a 线性表示.因此� 也是实数域上一维空间�即 与 R 都是实数域上一维空间� 故

　 10�不全为 0,求证:

　【答案】证法 14则①式改为

　且

　 于是

　且

　 再由③有

　从而存在 使 两边乘有

　 进而�

　由⑥知

　由④�⑦得证①. 证法 2则

　 2017 年湖南大学数学与计量经济学院 813 高等代数考研题库�二� 说明�①本资料为 VIP 包过学员内部使用资料。涵盖了历年考研常考题型和重点题型。

　—————————————————————————————————————————— 一、分析计算题

　1� 设秩 证明�如果 A 有零特征值�则零特征对应的初等因子次数不超过 k. 【答案】设 A 的若当标准形为

　其中 J 0 为 A 中所有特征值为 0 的若当形矩阵�即中可能有若干个若当块�其主对角线元均为 0�.其它若 当块 的特征值均非零�即

　另设 t 为 中最大块的级数�它对应的初等因子为 下证

　 用反证法.若 t>k�则由①式有

　这时由亍 所以

　但 都非奇异�所以

　从而由②�③�④�有

　这与假设矛盾. .即证零特征值对应的初等因子的次数不超过 k.

　2� 记 P 为数域�假设 有特征值 但 均不是A 的特征值.试证明 V 的变换 为同构. 【答案】

　显然保持加法与数乘�下证是一一对应的. 令 则 因为 特征值为 �它们均不是 A 的特征值�得 X=0,此说明 的核 所以 是单射�由于 V 是有限维空间�所以 V 是满射�证完.

　3� 在数域 K 上的 4 维向量空间 内�给定向量组

　�1�判断此向量组是否线性相关� �2�求此向量组的秩� �3�求此向量组生成 的子空间

　 的维数和一组基. 【答案】�1� 线性相关. �2�由于 的对应分量不成比例�因而 线性无关.又 可由 线性表出�故秩

　�3� 且 为此生成子空间的一组基.

　4� 设 V 是数域 K 上的 n 维线性空间�g 是 V 上的非退化的对称双线性函数�W 是 V 的子空间�令

　证明� �1�

　�2�

　【答案】�1�取 W 的一个基 将之扩充为 V 的基 设 g 关于此基下的度量矩阵为 A�则 A 可逆.因为

　于是 的充要条件是其坐标是齐次线性方程组

　的解.由�10-6�的系数矩阵的秩为 r,得到�10-6�的基础解系含 n—r 个解向量�以其为坐标的向量设为 则 就是 的基�于是 故结论成立. �2�记 由�1�知 显然 由 故

　 5� 设 f�x�是次数大于零的整系数多项式�若 是 f�x�的根�则 也是 的根. 【答案】

　设 其中 去除 所得到 的余式.由带佘除法定理�可设

　而 的根�即

　所以

　即有

　可见 的根.

　6� 设 K 为数域� 分别为 K 上偶次项系数全为零和奇次项系数全为零的全体多项式作成的集合.证明 都是多项式空间 的子空间�且二者同构. 【答案】

　都作成子空间显然�又易知

　是 的一个映射. 又 若 即 所 有 i 均 为 偶 数 � 从 而 i+1 均 为 奇 数 � 于 是因 此� 是满射. 同理易知 是单射�从而是双射�又由于

　 因此�

　 7� 是直和 中存在向量 cx 的分解式是惟一的. 【答案】必要性是显然的�下证充分性. 设 a�0 的分解式为

　这里则

　注意到 由 a 的分解式是惟一的�则

　于是 从而〇向量的分解式是惟一的�故 是直和.

　8� 证明�A 与 相似�从而有相同的特征值.但特征向量不一定相同. 【答案】设 且 的不变因子为

　则存有 n 阶可逆阵使

　两边取转置得

　从而 与 有相同的不变因子� 于是

　这说明�A 与 有相同的特征多项式�从而有相同的特征值.但特征向量不一定相同�比如设

　当 时�由 得线性无关的特征向量为 则 A 属于 1 的全部特征向量为其中 k 为 P 中不为零的任意常数. 当 时�由 得线性无关特征向量为 则 属于 1 的全部特征向量为其中 1 为 P 中不为零的任意常数�因此 A 与 具有不同的特征向量.

　9� 计算 n 阶行列式 其中 x=yz 【答案】按第一行展开得

　 由①式得

　10�设

　�1�A 能否对角化��2�求 B 的行列式. 【答案】�1�由

　得 A 的特征值为全部的 n 次单位根 它们互不相同�故 A 可以对角化。

　�2�注意到

　因而

　令

　则 由 A 的全部特征值为 则 B 的全部特征值为

　故

　 2017 年湖南大学数学与计量经济学院 813 高等代数考研题库�三� 说明�①本资料为 VIP 包过学员内部使用资料。涵盖了历年考研常考题型和重点题型。

　—————————————————————————————————————————— 一、分析计算题

　1� 4 为有限维欧氏空间的一个标准正交组�对 均有 那么是 V 的基. 【答案】设由 生成的子空间为 即设

　所以

　又

　所以由 知 从而

　即 所以 结合正交组线性无关知 为 V 的基�

　2� 设 A、B 是 n 阶正交阵�且 证明�

　【答案】A、B 为正交阵�艮 P

　所以

　故

　又因为

　所以

　3� 设 W 是 的非零子空间�对于 W 中每一个向量 或 全为 0,或 全不为I

　 n,证明�

　【答案】

　则 a 线性无关. 设 这里 因为

　所以

　则 故 a 是 W 的基�且

　 4� 设 A 为 n 阶非数量矩阵.证明� �1�若 且 a�b�c 不全为 0�则

　�2�若

　【答案】�1�设

　 若 c=0�则 aA=-bE.这与 a�b�c 不全为 0 且 A 非数量矩阵矛盾�因此

　反之�若 则由假设可得 从而

　�2�由 得 A�A—E�=0.若 则得 A=E.这与 A 非数量矩阵矛盾.故 .

　5� �1�证明� 其中 Y 为可逆方阵 A 的伴随矩阵� �2�设 A 为实对称阵�A 的秩为 r,证明�A 可表为 r 个秩为 1 的对称方阵之和 【答案】�1�本题中假设 A 为可逆方阵�实际上对任意竹阶方阵 A 都有

　�i�当 A 可逆时�由于 两边取行列得

　�ii�当 A 不可逆时� 这时秩从而也有

　从而存在正交阵使

　其中 为 A 的全部特征值.因为秩 A=r�不防设 所以

　 其中

　则 秩 B=l,G=1�i=l�2�…�r�.

　 6� 设 T 是 n 维线性空间 V 的一个线性变换� 是 T�V�的一个基�且令 证明� 其中 T�V�表示 T 的值域�N�T�表示 T 的核空间 【答案】

　�则有

　而 为 T�V�的基�所以 即 因此有 故W+N�T�是直和.又因为 线性无关�且所以 线性无关�故有 dimW=r. 又 所以有

　从而

　 7� 计算 n+1 阶行列式

　【答案】将 最后一列拆成两个行列式的和�

　上式右端第一个行列式按 n+1 列展开�然后用归一法计算�第二个行列式 列乘以 加到第 i 列�i 得 �

　 8� 设 n 阶方阵 且 证明�存在可逆方阵 P�使 与 皆为对角矩阵且主对角上元素为 1 和 0. 【答案】由于 故 A 满足 因而 A 的最小多项式整除 的初等因子只能由 构成. 于是 A 相似于 故存在可逆方阵使

　令 则由得

　即

　由此得

　又由 可得 从而 于是由上同理可得

　其中 可逆且 再令

　则由 及�6���7���8�得

　9� 求下列方程的最小二乘

　用“到子空间距离最短的线是垂线”的语言表达出上面方程的最小二乘解的几何意义�由此列出方程并求解.�用三位有效数字计算�. 【答案】设系数矩阵的两列向量分别为即

　又令

　求 X 使 最 小 � 即 求 Y 使 Y-B 垂 直 于 子 空 间. 或也即

　计算即得

　解得

　 10�设 A 为 n 阶方阵�证明:

　【答案】当 时�有

　而

　所以

　 当 时�有

　当 时� 从而

　显有

　当 时�有

　结合 时知

　故仍有

　 2017 年湖南大学数学与计量经济学院 813 高等代数考研题库�四� 说明�①本资料为 VIP 包过学员内部使用资料。涵盖了历年考研常考题型和重点题型。

　—————————————————————————————————————————— 一、分析计算题

　1� 设 T 是数域 K 上线性空间 V 的线性变换.证明� ①若 是 T 的分别属于特征值 的特征向量且 则 不是 T 的特征向量� ②T 是数乘变换 V 中每个非零向量都是 T 的特征向量. 【答案】①因为 且故

　若 是 T 的特征向量�相应特征值为则

　于是由�8�得 但属于不同特征值的特征向量线性无关�故 矛盾. ②若 T 是数乘变换�则存在使

　从而 V 中任何非零向量都是 T 的特征向量. 反之�若 V 中任何非零向量都是 T 的特征向量�则在 V 中任取 设

　再任取 V 的一个向量 x.若 或 则也有

　若 贝 U 由假设 x 也是 T 的特征向量�设

　若 则由①知 不是 T 的特征向量.这与任何非零向量都是 T 的特征向量的假设矛盾�故必有 即也有 因此�T 是数乘变换.

　2� 设 R 的线性变换 在标准正交基下的矩阵为

　�1�求 A 的特征值和特征向量. �2�求 的一组标准正交基�使 A 在此基下的矩阵为对角矩阵. 【答案】�1�计算可得 所以 A 的特征值为

　当 时�特征方程为

　此系数矩阵秩为 1,故 A 有两个属于 1 的线性无关的解向量

　 从而属于 1 的所有特征向量为 其中 不全为零. 当 时�特征方程为

　 于是原方程组等价于

　故 A 的属于 4 的线性无关特征向量为 从而属于 4 的所有的特征向量为 其中为任意常数. �2� A 为实对称阵�从而存在正交阵 T�使

　把 正交化�再单位化. 先正交化�

　再单位化�

　 故 组成了 A 的标准正交基�且 A 在 下的矩阵为对角矩阵.

　3� 已知分块形矩阵 可逆�其中 B 为 块.C 为求 B 与 C 都可逆�并求

　【答案】�1� 即证 B�C 都可逆. �2�解法 1

　令 其中 块� 块.那么由 可得

　所以 C 可逆�由③�④解得 将它们代入①�②又 B 可逆�可解得故

　解法 2

　用广义行初等变换

　 4� 设 A 是 mxn 矩阵� 且 A 的行向量线性无关�B 是 矩阵�B 的列向量线性无关�且 AB=0,如 的解�则 有唯一解. 【答案】因为 所以 AX=0 的基础解系含 个向量. 又 AB=0,所以 B 的列向量均为 AX=0 的解• 又 从而 B 的列是 AX=0 的一个基础解系.考虑 是 AX=0 的解�所以 可由 B的列仏� 线性表示�并且表法唯一. 令

　可得

　即 使

　 5� 设

　的正惯性指数为 P�秩为 r�证明�

　【答案】

　可改写为

　设二次型 的矩阵为 A�则

　p=正惯性指数=n-l�负惯性指数=0. r=�正惯性指数�+�负惯性指数�=n-1

　 6� 求可逆方阵 P 使 其中

　【答案】易知 A 的三个特征值 1�2, 3 互异�故 A 可对角化. 对应三个特征值分别解齐次线性方程组�

　各得一特征向量 若令

　则

　又易知 同理�解

　可得特征向量令

　则

　由�10���11�知�若令即

　便得

　 7� 设A�B分别为m×n与m×s矩阵�X为n×s未知矩阵.证明�矩阵方程AX=B有解�A�B�.且当 r�A�=r�A�B�=r=n 时�AX=B 有唯一解�当 r<n 时有无穷多解. 【答案】设 即 分别为矩阵 A 与 B的列向量组.若 AX=B 有解则得

　即 B 的 列 向 量 组 可 由 A 的 列 向 量 组 线 性 表示 � 从 而 但 显 然因此�r�A�=r�A�B�. 反之�若 r�A�=r�A�B�=r�则 B 的列向量组必是 A 的列向量组的线性组合�且以组合系数为列向量所构成的 n×s 矩阵便是 AX=B 的解. 当 r=n 时由于每个__�的解唯一�从而 AX=B 的解也唯一�当r<n 时由于每个 有无穷多解�故 AX=B 也有无穷多解.

　8� �1�设 试求

　�2�设 由下面矩阵级数来定义�

　如果 试证�

　【答案】�1�设 为 A 的特征多项式�则

　 将 代入①得

　解得

　所以

　 �2�设 由上面②求得

　类似可得所以

　 9� 设 A�B 均为 n 阶方阵�A+B=AB�证明�r�A�=r�B�. 【答案】由 A+B=AB�得

　故 类似可得� 故 r�A�=r�B�.

　10� 定义

　试证 都是 V 上线性函数�并找出 V 的一组基 使 是它的对偶基. 【答案】易证 都是 上线性函数. 令 使得 即有

　 解出得

　同样可算出

　满足

　由于

　....

篇十：湖南大学数学研究生好考吗

大学 2007 年硕士研究生入学考试复试分数线

　 07 湖大线 07 国家线 报考学科门类专业 总分 政治、 外语 业务课一、 业务课二 总分 政治、外语 业务课一、业务课二 哲学[01] 325 50 90 305 46 69 经济学[02]不含金融学 330 55 85 325 53 80 法学[03]不含法律硕士[030180] 340 55 90 335 53 80 法律硕士[030180] 330 55 90 340 53 80 教育学[04] 330 50 180 305 50 150 文学[05] 345 55 90 350 55 83 历史学[06] 310 48 170 290 41 123 理学[07] 310 50 80 305 49 74 工学[08] 300 46 75 290 41 62 医学[10] 315 50 180 285 43 129 管理学[12]不含 MBA[120280] 335 55 85 330 54 81 工商管理硕士MBA)[120280] 165 英语 50 综合能力100 165 48 96

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